Determine o ponto da superfície z = 3 x^2 - y^2 no qual o plano tangente é paralelo ao plano de equação 3x + y + 2z = 1.

Passo 1

Vamos lá! Temos que encontrar um ponto na superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais. O vetor normal do plano dado é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente da superfície em um ponto qualquer . Para isso, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente nesse ponto é então . Queremos que esse vetor seja proporcional ao vetor normal do plano dado . Ou seja:

Passo 5

Isso nos dá as seguintes equações:
Resolvendo a última equação primeiro:

Passo 6

Substituindo nas outras equações:

Passo 7

Agora que temos e , vamos encontrar usando a equação da superfície:

Resposta

O ponto na superfície é .

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