Determine o domínio da função:
(f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}})
(f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}})
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio (todos os
para os quais
está bem definida). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Aparece uma raiz quadrada
, logo o radicando deve ser não negativo. - O resultado da raiz é o denominador de uma fração, logo esse resultado não pode ser zero (não se pode dividir por zero).
- Há valor absoluto
dentro do radicando.
Passo 2
Relembrando as condições que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
- A raiz quadrada
Portanto, para (f(x)] ser definida precisamos que o radicando satisfaça
]
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
fazendo análise em casos (usar a definição do valor absoluto). Isso é padrão quando aparece
: dividimos em
e
.
Passo 4
Caso 1:
. Aqui
. Substituindo:
Então para
temos
, o que NÃO satisfaz a desigualdade
. Portanto nenhum
pertence ao domínio.
Passo 5
Caso 2:
. Aqui
. Substituindo:
A desigualdade
fica
Dividindo por
(lembrando de inverter o sinal da desigualdade ao dividir por número negativo) obtemos
Isso coincide exatamente com a hipótese do caso. Ou seja, todo
satisfaz
.
Passo 6
Concluímos que a condição necessária e suficiente para
estar definida é
. Verificação pontual rápida (exemplo): para
,
valor bem definido e finito, confirmando que valores negativos funcionam. No
temos radicando
e denominador zero, então
está proibido.