Determine o domínio da função:
(f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}})

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}}
e pede o domínio (todos os x para os quais f(x) está bem definida). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}, logo o radicando deve ser não negativo.
  • O resultado da raiz é o denominador de uma fração, logo esse resultado não pode ser zero (não se pode dividir por zero).
  • Há valor absoluto |x| dentro do radicando.

Passo 2

Relembrando as condições que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
  • A raiz quadrada \sqrt{A}\) está definida em \(\mathbb{R}\) apenas se \(A \ge 0\). - Se \(\sqrt{A}\) é o denominador da fração \(\dfrac{1}{\sqrt{A}}\), então é necessário \(\sqrt{A}\neq 0\), ou seja, \(A>0\). - Definição do valor absoluto: \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Portanto, para (f(x)] ser definida precisamos que o radicando satisfaça
|x|-x>0.]

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade
|x|-x>0
fazendo análise em casos (usar a definição do valor absoluto). Isso é padrão quando aparece |x|: dividimos em x\ge 0 e x<0.

Passo 4

Caso 1: x\ge 0. Aqui |x|=x. Substituindo:
|x|-x = x - x = 0.
Então para x\ge 0 temos |x|-x=0, o que NÃO satisfaz a desigualdade |x|-x>0. Portanto nenhum x\ge 0 pertence ao domínio.

Passo 5

Caso 2: x<0. Aqui |x|=-x. Substituindo:
|x|-x = -x - x = -2x.
A desigualdade |x|-x>0 fica
-2x>0.
Dividindo por -2 (lembrando de inverter o sinal da desigualdade ao dividir por número negativo) obtemos
x<0.
Isso coincide exatamente com a hipótese do caso. Ou seja, todo x<0 satisfaz |x|-x>0.

Passo 6

Concluímos que a condição necessária e suficiente para f(x) estar definida é x<0. Verificação pontual rápida (exemplo): para x=-1,
f(-1)=\frac{1}{\sqrt{|-1|-(-1)}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
valor bem definido e finito, confirmando que valores negativos funcionam. No x=0 temos radicando 0 e denominador zero, então x=0 está proibido.

Resposta

(-\infty,0)

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