Resolva as inequações:
\frac{x^{2}-7 x+10}{-x^{2}+9 x-18} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a inequação
\frac{x^{2}-7x+10}{-x^{2}+9x-18}\leq 0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma expressão racional (um quociente de polinômios) e queremos os valores de x que tornam essa fração menor ou igual a zero.
  • Pontos em que o numerador é zero tornam a fração igual a zero (se o denominador for diferente de zero) — esses pontos podem entrar na solução porque a desigualdade permite o sinal \leq 0.
  • Pontos em que o denominador é zero fazem a expressão indefinida (não pertencem ao domínio) e, portanto, não podem ser incluídos na solução.
  • Vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar zeros e pontos de indeterminação, e estudar o sinal em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Fatorar os polinômios é o primeiro passo prático. Fatorando o numerador x^{2}-7x+10:
x^{2}-7x+10=(x-5)(x-2),
pois -5-2=-7 e (-5)\cdot(-2)=10.
Fatorando o denominador -x^{2}+9x-18. É útil colocar um sinal negativo em evidência:
-x^{2}+9x-18=-(x^{2}-9x+18).
Agora fatorar x^{2}-9x+18:
x^{2}-9x+18=(x-3)(x-6),
pois -3-6=-9 e (-3)\cdot(-6)=18.
Assim
- x^{2}+9x-18=-(x-3)(x-6).

Passo 3

Reescrevendo a expressão com as fatorações:
\frac{x^{2}-7x+10}{-x^{2}+9x-18} =\frac{(x-5)(x-2)}{-(x-3)(x-6)} =-\frac{(x-5)(x-2)}{(x-3)(x-6)}.
É importante notar o sinal negativo à frente: ele inverte o sinal do quociente dos fatores.

Passo 4

Identificar os pontos críticos (raízes do numerador e zeros do denominador):
  • Numerador zero em x=2 e x=5. Nesses pontos a fração vale zero (desde que o denominador não seja zero).
  • Denominador zero em x=3 e x=6. Nesses pontos a expressão é indefinida (pontos proibidos).
    Logo os pontos que dividem a reta em intervalos são 2,3,5,6. O domínio exclui x=3 e x=6.

Passo 5

Método do estudo de sinais (ideia):
  • Para saber onde -\dfrac{(x-5)(x-2)}{(x-3)(x-6)}\le 0, vamos analisar o sinal do produto/razão dos fatores em cada intervalo determinado por 2,3,5,6.
  • Em cada intervalo escolhemos um ponto-teste e avaliamos o sinal de cada fator (x-5),(x-2),(x-3),(x-6).
  • Lembre: o sinal de um produto é o produto dos sinais; o sinal de uma razão é o sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador; e o menos na frente troca o sinal final.

Passo 6

Fazer o estudo de sinais por intervalos. Para cada intervalo escolho um ponto-teste e calculo sinais dos fatores; depois determino o sinal da expressão inteira.
Intervalo (-\infty,2). Ponto-teste x=0.
x-5=-5\;(-),\quad x-2=-2\;(-),\quad x-3=-3\;(-),\quad x-6=-6\;(-).
Produto numerador (x-5)(x-2): (-)\cdot(-)=+.
Produto denominador (x-3)(x-6): (-)\cdot(-)=+.
Razão sem o sinal negativo: +\!/+=+. Com o sinal negativo na frente: -(+)= -.
Conclusão: a expressão é negativa em (-\infty,2). Como queremos \le 0, todo esse intervalo satisfaz.
Intervalo (2,3). Ponto-teste x=2{,}5.
x-5=-2{,}5\;(-),\quad x-2=0{,}5\;(+),\quad x-3=-0{,}5\;(-),\quad x-6=-3{,}5\;(-).
Numerador: (-)\cdot(+)= -. Denominador: (-)\cdot(-)=+.
Razão sem o menos: -\!/+=-. Com o menos na frente: -(-)=+.
Conclusão: a expressão é positiva em (2,3) — não satisfaz \le 0.
Intervalo (3,5). Ponto-teste x=4.
x-5=-1\;(-),\quad x-2=2\;(+),\quad x-3=1\;(+),\quad x-6=-2\;(-).
Numerador: (-)\cdot(+)= -. Denominador: (+)\cdot(-)= -.
Razão sem o menos: -\!/\!-=+. Com o menos na frente: -(+) = -.
Conclusão: a expressão é negativa em (3,5) — satisfaz \le 0.
Intervalo (5,6). Ponto-teste x=5{,}5.
x-5=0{,}5\;(+),\quad x-2=3{,}5\;(+),\quad x-3=2{,}5\;(+),\quad x-6=-0{,}5\;(-).
Numerador: +\cdot+=+. Denominador: +\cdot-=-.
Razão sem o menos: +\!/\!- = -. Com o menos na frente: -(-)=+.
Conclusão: a expressão é positiva em (5,6) — não satisfaz.
Intervalo (6,\infty). Ponto-teste x=7.
x-5=2\;(+),\quad x-2=5\;(+),\quad x-3=4\;(+),\quad x-6=1\;(+).
Numerador: +\cdot+=+. Denominador: +\cdot+=+.
Razão sem o menos: +\!/+=+. Com o menos na frente: -(+)=-.
Conclusão: a expressão é negativa em (6,\infty) — satisfaz \le 0.

Passo 7

Agora juntamos as informações e tratamos os pontos singulares:
  • Intervalos onde a expressão é negativa (logo satisfaz \le 0): (-\infty,2), (3,5), (6,\infty).
  • Pontos onde a expressão é zero: x=2 e x=5. Ambos podem ser incluídos na solução porque o denominador em 2 e 5 não é zero (verificação: o denominador em x=2 vale -4\neq0; em x=5 vale 2\neq0).
  • Pontos proibidos (denominador zero): x=3 e x=6 — não entram na solução.
    Portanto, incluindo os zeros e excluindo os pontos proibidos, a solução é a união
    (-\infty,2] \cup (3,5] \cup (6,\infty).

Resposta

(-\infty,2] \cup (3,5] \cup (6,\infty)

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