Resolva as inequações:
\frac{x^{2}-7 x+10}{-x^{2}+9 x-18} \leq 0
\frac{x^{2}-7 x+10}{-x^{2}+9 x-18} \leq 0
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a inequação
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma expressão racional (um quociente de polinômios) e queremos os valores de
que tornam essa fração menor ou igual a zero. - Pontos em que o numerador é zero tornam a fração igual a zero (se o denominador for diferente de zero) — esses pontos podem entrar na solução porque a desigualdade permite o sinal
. - Pontos em que o denominador é zero fazem a expressão indefinida (não pertencem ao domínio) e, portanto, não podem ser incluídos na solução.
- Vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar zeros e pontos de indeterminação, e estudar o sinal em cada intervalo determinado por esses pontos.
Passo 2
Fatorar os polinômios é o primeiro passo prático. Fatorando o numerador
:
pois
e
.
Fatorando o denominador
. É útil colocar um sinal negativo em evidência:
Agora fatorar
:
pois
e
.
Assim
Assim
Passo 3
Reescrevendo a expressão com as fatorações:
É importante notar o sinal negativo à frente: ele inverte o sinal do quociente dos fatores.
Passo 4
Identificar os pontos críticos (raízes do numerador e zeros do denominador):
- Numerador zero em
e . Nesses pontos a fração vale zero (desde que o denominador não seja zero). - Denominador zero em
e . Nesses pontos a expressão é indefinida (pontos proibidos).
Logo os pontos que dividem a reta em intervalos são. O domínio exclui e .
Passo 5
Método do estudo de sinais (ideia):
- Para saber onde
, vamos analisar o sinal do produto/razão dos fatores em cada intervalo determinado por . - Em cada intervalo escolhemos um ponto-teste e avaliamos o sinal de cada fator
. - Lembre: o sinal de um produto é o produto dos sinais; o sinal de uma razão é o sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador; e o menos na frente troca o sinal final.
Passo 6
Fazer o estudo de sinais por intervalos. Para cada intervalo escolho um ponto-teste e calculo sinais dos fatores; depois determino o sinal da expressão inteira.
Intervalo
. Ponto-teste
.
Produto numerador
:
.
Produto denominador :
.
Razão sem o sinal negativo: . Com o sinal negativo na frente:
.
Conclusão: a expressão é negativa em . Como queremos
, todo esse intervalo satisfaz.
Produto denominador
Razão sem o sinal negativo:
Conclusão: a expressão é negativa em
Intervalo
. Ponto-teste
.
Numerador:
. Denominador:
.
Razão sem o menos: . Com o menos na frente:
.
Conclusão: a expressão é positiva em — não satisfaz
.
Razão sem o menos:
Conclusão: a expressão é positiva em
Intervalo
. Ponto-teste
.
Numerador:
. Denominador:
.
Razão sem o menos: . Com o menos na frente:
.
Conclusão: a expressão é negativa em — satisfaz
.
Razão sem o menos:
Conclusão: a expressão é negativa em
Intervalo
. Ponto-teste
.
Numerador:
. Denominador:
.
Razão sem o menos: . Com o menos na frente:
.
Conclusão: a expressão é positiva em — não satisfaz.
Razão sem o menos:
Conclusão: a expressão é positiva em
Intervalo
. Ponto-teste
.
Numerador:
. Denominador:
.
Razão sem o menos: . Com o menos na frente:
.
Conclusão: a expressão é negativa em — satisfaz
.
Razão sem o menos:
Conclusão: a expressão é negativa em
Passo 7
Agora juntamos as informações e tratamos os pontos singulares:
- Intervalos onde a expressão é negativa (logo satisfaz
): , , . - Pontos onde a expressão é zero:
e . Ambos podem ser incluídos na solução porque o denominador em e não é zero (verificação: o denominador em vale ; em vale ). - Pontos proibidos (denominador zero):
e — não entram na solução.
Portanto, incluindo os zeros e excluindo os pontos proibidos, a solução é a união
.