Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma função de duas variáveis reais,
e . - O único obstáculo óbvio para a definição da função é que há uma divisão por
. - A tarefa é listar todos os pares
em para os quais a expressão acima está bem definida.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui (explicação didática):
- O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos
para os quais a expressão dada fornece um número real bem definido. - Problemas típicos que impedem um ponto de estar no domínio são: divisão por zero, radicais de índice par de números negativos, logaritmo de número não positivo, etc.
- Neste exercício especificamente, o problema possível é divisão por zero: a função só está indefinida quando o denominador
é igual a zero.
Passo 3
Impor a condição de existência (passo formal):
- Para que
esteja definida é necessário e suficiente que
Passo 4
Resolver a equação que gera a exclusão:
- Vamos achar todos os pontos onde
. Uso a fatoração notável:
- Assim
se, e somente se,
ou seja,
- Portanto os pontos que tornam o denominador zero satisfazem
Passo 5
Concluir o domínio (descrição e formas equivalentes):
- O domínio é o plano
com as duas retas e removidas. - Em notação de conjuntos, formas equivalentes para o domínio são:
ou ainda
- Exemplos rápidos para treinar a intuição:
-
pertence ao domínio porque . -
não pertence ao domínio porque . -
não pertence ao domínio porque .
-