Determine o domínio da função
g(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}
e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma função de duas variáveis reais, x e y.
  • O único obstáculo óbvio para a definição da função é que há uma divisão por x^{2}-y^{2}.
  • A tarefa é listar todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2} para os quais a expressão acima está bem definida.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (explicação didática):
  • O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais a expressão dada fornece um número real bem definido.
  • Problemas típicos que impedem um ponto de estar no domínio são: divisão por zero, radicais de índice par de números negativos, logaritmo de número não positivo, etc.
  • Neste exercício especificamente, o problema possível é divisão por zero: a função só está indefinida quando o denominador x^{2}-y^{2} é igual a zero.

Passo 3

Impor a condição de existência (passo formal):
  • Para que g(x,y) esteja definida é necessário e suficiente que
x^{2}-y^{2}\neq 0.

Passo 4

Resolver a equação que gera a exclusão:
  • Vamos achar todos os pontos onde x^{2}-y^{2}=0. Uso a fatoração notável:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
  • Assim x^{2}-y^{2}=0 se, e somente se,
(x-y)(x+y)=0,
ou seja,
x-y=0 \quad\text{ou}\quad x+y=0.
  • Portanto os pontos que tornam o denominador zero satisfazem
y=x \quad\text{ou}\quad y=-x.

Passo 5

Concluir o domínio (descrição e formas equivalentes):
  • O domínio é o plano \mathbb{R}^{2} com as duas retas y=x e y=-x removidas.
  • Em notação de conjuntos, formas equivalentes para o domínio são:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\},
\mathbb{R}^{2}\setminus\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=x\\ \text{ou}\\ y=-x\},
ou ainda
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq x\\ \text{e}\\ y\neq -x\}.
  • Exemplos rápidos para treinar a intuição:
    • (1,0) pertence ao domínio porque 1^{2}-0^{2}=1\neq0.
    • (1,1) não pertence ao domínio porque 1^{2}-1^{2}=0.
    • (2,-2) não pertence ao domínio porque 2^{2}-(-2)^{2}=0.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}

Exercícios relacionados