Seja a função
f(x, y, z)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
Determine o domínio e descreva geometricamente a região.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=\sqrt{16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}
e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de definição de f.
  • Descrever geometricamente a região correspondente ao domínio.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função envolve uma raiz quadrada real \sqrt{\;\cdot\;}.
  • Os argumentos da função são as variáveis (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}.
    Nada mais é dado; vamos usar apenas essa expressão para encontrar onde f é real.

Passo 2

Regra básica necessária: para que a raiz quadrada de um número real seja um número real, o argumento da raiz deve ser maior ou igual a zero.
Aplicando isso ao nosso caso, exigimos que
16 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0.
Esta desigualdade garante que a expressão dentro da raiz é não negativa e, portanto, \sqrt{16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}} é um número real.

Passo 3

Agora vamos manipular a desigualdade para escrever o domínio numa forma padrão. A desigualdade
16 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0
é equivalente a
x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 16.
Portanto, o domínio D é o conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem essa desigualdade. Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16\}.

Passo 4

Interpretação geométrica passo a passo:
  • A equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} descreve uma esfera de raio R centrada na origem.
  • Aqui temos x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16. Como 16=4^{2}, isso significa todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a 4.
  • Logo, geometricamente o domínio é a bola (esfera preenchida) de raio 4 centrada na origem, incluindo a superfície (por isso é uma bola fechada).
Em palavras mais simples: é o conjunto de todos os pontos dentro e sobre a esfera de raio 4 em \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Observações úteis para a prova e para entender melhor a função:
  • O valor máximo de f ocorre na origem (0,0,0):
f(0,0,0)=\sqrt{16}=4.
  • Na fronteira da bola, onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=16, o valor de f é zero:
f(x,y,z)=0\quad\text{sempre que}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
  • Para um valor fixo t com 0\le t\le 4, a equação f(x,y,z)=t é equivalente a
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16-t^{2},
que é uma esfera de raio \sqrt{16-t^{2}}. Assim, os níveis de f são esferas concêntricas de raios variando de 4 (para t=0) até 0 (para t=4).
  • Exemplos rápidos para praticar na prova:
    • O ponto (2,2,2) tem 2^{2}+2^{2}+2^{2}=12\le 16, portanto pertence ao domínio e f(2,2,2)=\sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2.
    • O ponto (5,0,0) tem 5^{2}=25>16, logo não pertence ao domínio (a raiz ficaria com argumento negativo).

Resposta

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16\}
Bola fechada (sólida) de raio 4 centrada na origem em \mathbb{R}^{3}.

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