Seja a função
Determine o domínio e descreva geometricamente a região.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de definição de
. - Descrever geometricamente a região correspondente ao domínio.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função envolve uma raiz quadrada real
. - Os argumentos da função são as variáveis
em .
Nada mais é dado; vamos usar apenas essa expressão para encontrar ondeé real.
Passo 2
Regra básica necessária: para que a raiz quadrada de um número real seja um número real, o argumento da raiz deve ser maior ou igual a zero.
Aplicando isso ao nosso caso, exigimos que
Esta desigualdade garante que a expressão dentro da raiz é não negativa e, portanto,
é um número real.
Passo 3
Agora vamos manipular a desigualdade para escrever o domínio numa forma padrão. A desigualdade
é equivalente a
Portanto, o domínio
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem essa desigualdade. Em notação de conjuntos:
Passo 4
Interpretação geométrica passo a passo:
- A equação
descreve uma esfera de raio centrada na origem. - Aqui temos
. Como , isso significa todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a . - Logo, geometricamente o domínio é a bola (esfera preenchida) de raio
centrada na origem, incluindo a superfície (por isso é uma bola fechada).
Em palavras mais simples: é o conjunto de todos os pontos dentro e sobre a esfera de raio
em
.
Passo 5
Observações úteis para a prova e para entender melhor a função:
- O valor máximo de
ocorre na origem :
- Na fronteira da bola, onde
, o valor de é zero:
- Para um valor fixo
com , a equação é equivalente a
que é uma esfera de raio
. Assim, os níveis de
são esferas concêntricas de raios variando de
(para
) até
(para
).
- Exemplos rápidos para praticar na prova:
- O ponto
tem , portanto pertence ao domínio e - O ponto
tem , logo não pertence ao domínio (a raiz ficaria com argumento negativo).
- O ponto
Resposta
Bola fechada (sólida) de raio