Questão 12 Para uma função contínua arbitrária
, verifica-se que
Assinale a alternativa verdadeira.
A
e
.
B
e
.
C)
e
.
D
e
.
E
e
.
A
B
C)
E
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre duas integrais duplas e pede quais são as funções
e
que tornam as integrais iguais para toda função contínua
. Os dados relevantes do enunciado são:
- A igualdade fornecida:
- A condição de continuidade de
(garante que podemos trocar a ordem de integração usando o Teorema de Fubini). - O que se pede: identificar explicitamente as funções
e que aparecem no segundo membro.
Passo 2
Vou descrever geometricamente a região de integração do primeiro membro para entender os limites. A integral
significa que primeiro
varia entre
e
, enquanto
varia entre
e
. Logo a região
no plano
é
Reescrevendo as desigualdades de forma combinada:
Essa é um triângulo retângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração (integrar primeiro em
e depois em
) precisamos:
- Determinar o intervalo de
(projeção de no eixo ). - Para um dado
nesse intervalo, determinar o intervalo de .
Da descrição
segue que o menor valor possível de
é
e o maior é
(pelo ponto
). Portanto o intervalo de
é
Passo 4
Agora, para um
fixo com
, as condições que
deve satisfazer são
e
. A segunda condição dá
. Assim, para cada
,
Ou seja, integrando primeiro em
para esse
, os limites são
e
.
Passo 5
Justificação teórica rápida (para a prova): como
é contínua em um conjunto compacto (o triângulo
),
é integrável e o Teorema de Fubini garante que a ordem de integração pode ser trocada. Para trocar a ordem, descreve-se a região
por projeções no eixo
e, para cada
, determina-se o intervalo de
conforme fizemos acima. Isso produz exatamente os limites
e
.
Passo 6
Uma verificação simples com
(pra ficar mais concreto): cálculo direto do primeiro membro:
Com os limites encontrados no segundo membro:
Confere — boa checagem prática.
Resposta
C
e