Questão 12 Para uma função contínua arbitrária f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, verifica-se que
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} f(x, y) d x d y=\int_{0}^{1} \int_{a(x)}^{\beta(x)} f(x, y) d y d x
Assinale a alternativa verdadeira.
A \alpha(x)=0 e \beta(x)=1.
B \alpha(x)=1-x e \beta(x)=1.
C) \alpha(x)=0 e \beta(x)=1-x.
D \alpha(x)=x e \beta(x)=1.
E \alpha(x)=0 e \beta(x)=x.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre duas integrais duplas e pede quais são as funções \alpha(x) e \beta(x) que tornam as integrais iguais para toda função contínua f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. Os dados relevantes do enunciado são:
  • A igualdade fornecida:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} f(x,y)\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx.
  • A condição de continuidade de f (garante que podemos trocar a ordem de integração usando o Teorema de Fubini).
  • O que se pede: identificar explicitamente as funções \alpha(x) e \beta(x) que aparecem no segundo membro.

Passo 2

Vou descrever geometricamente a região de integração do primeiro membro para entender os limites. A integral
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} f(x,y)\,dx\,dy
significa que primeiro x varia entre 0 e 1-y, enquanto y varia entre 0 e 1. Logo a região D no plano (x,y) é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le y\le 1,\; 0\le x\le 1-y\}.
Reescrevendo as desigualdades de forma combinada:
D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.
Essa é um triângulo retângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 3

Para trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y e depois em x) precisamos:
  1. Determinar o intervalo de x (projeção de D no eixo x).
  2. Para um dado x nesse intervalo, determinar o intervalo de y.
Da descrição D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\} segue que o menor valor possível de x é 0 e o maior é 1 (pelo ponto (1,0)). Portanto o intervalo de x é
0\le x\le 1.

Passo 4

Agora, para um x fixo com 0\le x\le 1, as condições que y deve satisfazer são y\ge 0 e x+y\le 1. A segunda condição dá y\le 1-x. Assim, para cada x\in[0,1],
0\le y\le 1-x.
Ou seja, integrando primeiro em y para esse x, os limites são \alpha(x)=0 e \beta(x)=1-x.

Passo 5

Justificação teórica rápida (para a prova): como f é contínua em um conjunto compacto (o triângulo D), f é integrável e o Teorema de Fubini garante que a ordem de integração pode ser trocada. Para trocar a ordem, descreve-se a região D por projeções no eixo x e, para cada x, determina-se o intervalo de y conforme fizemos acima. Isso produz exatamente os limites \alpha(x)=0 e \beta(x)=1-x.

Passo 6

Uma verificação simples com f\equiv 1 (pra ficar mais concreto): cálculo direto do primeiro membro:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} 1\,dx\,dy=\int_{0}^{1} (1-y)\,dy=\left[y-\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Com os limites encontrados no segundo membro:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} 1\,dy\,dx=\int_{0}^{1} (1-x)\,dx=\left[x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Confere — boa checagem prática.

Resposta

C \alpha(x)=0 e \beta(x)=1-x

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