Determine o domínio da função vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial:
Domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada (neste caso, $ t $) para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função e ver quais valores de $ t $ não causam problemas, como divisões por zero ou logaritmos de números negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: $ \ln(t) \vec{i} $.
O logaritmo natural, $ \ln(t) $, só está definido para valores positivos de $ t $. Ou seja, $ t > 0 $.
Passo 3
Agora, a segunda componente: $ \frac{t}{t+1} \vec{j} $.
Aqui temos uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero. Portanto:
Passo 4
Por último, a terceira componente: $ t \vec{k} $.
Essa é uma função simples de $ t $, que está definida para todos os valores reais de $ t $. Não há restrições aqui.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
- De $ \ln(t) $: $ t > 0 $.
- De $ \frac{t}{t+1} $: $ t \neq -1 $.
Mas, olhando para a primeira restrição $ t > 0 $, percebemos que $ t = -1 $ já não está incluído nesse intervalo, já que $ -1 $ é menor que zero. Portanto, a única restrição que realmente afeta o domínio é $ t > 0 $.
Resposta
O domínio da função vetorial $ \vec{f}(t) $ é $ t > 0 $.