Determine o domínio da função vetorial
f(t)=ln (t) i+tt+1 j+t k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial:
f(t) = ln(t) i + tt+1 j + t k
Domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada (neste caso, $ t $) para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função e ver quais valores de $ t $ não causam problemas, como divisões por zero ou logaritmos de números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: $ \ln(t) \vec{i} $.
O logaritmo natural, $ \ln(t) $, só está definido para valores positivos de $ t $. Ou seja, $ t > 0 $.

Passo 3

Agora, a segunda componente: $ \frac{t}{t+1} \vec{j} $.
Aqui temos uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero. Portanto:
tt+1 j

Passo 4

Por último, a terceira componente: $ t \vec{k} $.
Essa é uma função simples de $ t $, que está definida para todos os valores reais de $ t $. Não há restrições aqui.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
  1. De $ \ln(t) $: $ t > 0 $.
  2. De $ \frac{t}{t+1} $: $ t \neq -1 $.
Mas, olhando para a primeira restrição $ t > 0 $, percebemos que $ t = -1 $ já não está incluído nesse intervalo, já que $ -1 $ é menor que zero. Portanto, a única restrição que realmente afeta o domínio é $ t > 0 $.

Resposta

O domínio da função vetorial $ \vec{f}(t) $ é $ t > 0 $.
f(t) í

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