A superfície de um lago é representada por uma região
no plano
, de modo que a profundidade (em metros) sob o ponto
é dada pela função
.
(a) Em que direção um bote em
deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente?
(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?
(a) Em que direção um bote em
(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?
Passo 1
A questão trata de uma superfície de um lago cuja profundidade em metros é dada por f(x,y)=300−2x2−3y2. Precisamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional para descobrir (a) a direção em que f decresce mais rápido em P=(4,9) e (b) a direção em que f permanece constante (direção tangente à curva de nível em P).
Passo 2
A teoria aqui é que o gradiente ∇f aponta para a direção de máximo crescimento de f, e o negativo de ∇f aponta para o decrescimento mais rápido. Além disso, direções de curva de nível são ortogonais ao gradiente. Vamos então calcular ∇f e avaliá-lo em P.
Passo 3
Calcular ∇f:
Em P=(4,9) temos
Passo 4
Direção de decrescimento mais rápido é −∇f(4,9) = (16,54). Para obter o vetor unitário, normalizamos:
portanto o vetor unitário é
Passo 5
Para manter a profundidade constante, movemos numa direção ortogonal a ∇f(4,9). Se ∇f(4,9)=(-16,-54), um vetor ortogonal é v=(54,-16) (ou seu oposto). Normalizando v,
logo o vetor unitário é
Resposta
Direção de decrescimento mais rápido em P=(4,9):
. Direção em que a profundidade permanece constante: qualquer vetor ortogonal a ∇f(4,9), por exemplo
.