A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x y, de modo que a profundidade (em metros) sob o ponto (x, y) é dada pela função f(x, y)=300-2 x^2-3 y^2.
(a) Em que direção um bote em P=(4,9) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente?
(b) Em que direção a profundidade permanece a mesma?

Passo 1

A questão trata de uma superfície de um lago cuja profundidade em metros é dada por f(x,y)=300−2x2−3y2. Precisamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional para descobrir (a) a direção em que f decresce mais rápido em P=(4,9) e (b) a direção em que f permanece constante (direção tangente à curva de nível em P).

Passo 2

A teoria aqui é que o gradiente ∇f aponta para a direção de máximo crescimento de f, e o negativo de ∇f aponta para o decrescimento mais rápido. Além disso, direções de curva de nível são ortogonais ao gradiente. Vamos então calcular ∇f e avaliá-lo em P.

Passo 3

Calcular ∇f:
nabla f(x,y)=l(∂f∂x,,∂f∂yr)=(-4x,,-6y)
Em P=(4,9) temos
nabla f(4,9)=(-16,,-54)

Passo 4

Direção de decrescimento mais rápido é −∇f(4,9) = (16,54). Para obter o vetor unitário, normalizamos:
|(16,54)|=raiz16^2+54^2=raiz3172=2raiz793,
portanto o vetor unitário é
udec = 12raiz793(16,54) = l(8raiz793,,27raiz793r)

Passo 5

Para manter a profundidade constante, movemos numa direção ortogonal a ∇f(4,9). Se ∇f(4,9)=(-16,-54), um vetor ortogonal é v=(54,-16) (ou seu oposto). Normalizando v,
|v|=2raiz793,
logo o vetor unitário é
univel = 12raiz793(54,-16) = l(27raiz793,-8raiz793r)

Resposta

Direção de decrescimento mais rápido em P=(4,9): l(8/raiz793,,27/raiz793r). Direção em que a profundidade permanece constante: qualquer vetor ortogonal a ∇f(4,9), por exemplo (27/raiz793,-8/raiz793).

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