Determine o domínio da função vetorial
r(t)=raiz2-t i+ln (t+3) j+e^t k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai determinar o domínio da função vetorial r(t) = raiz2 - t i + ln(t + 3) j + e^t k. O domínio é basicamente todos os valores de t que deixam a função bem-definida. Para isso, precisamos olhar cada componente da função e ver quais valores de t funcionam para todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente raiz2 - t. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, então precisamos que:
2 - t >= 0
Resolvendo a desigualdade:
-t >= -2 implies t <= 2
Então, para essa parte da função, t tem que ser menor ou igual a 2.

Passo 3

Agora, vamos ver a componente ln(t + 3). O logaritmo natural está definido apenas para números positivos, então:
t + 3 > 0
Resolvendo:
t > -3
Portanto, para essa parte, t precisa ser maior que -3.

Passo 4

A última componente é e^t. A função exponencial está sempre definida para qualquer número real, ou seja, não impõe restrições adicionais ao domínio.

Passo 5

Para encontrar o domínio completo da função vetorial, precisamos que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo. Isso significa que t deve satisfazer ambas as condições:
-3 < t <= 2

Resposta

O domínio da função vetorial é todo número real t que satisfaz -3 < t <= 2.
D = , t in R mid -3 < t <= 2 ,

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