Determine e desenhe a imagem da função vetorial
f(t)=(1+3 t, 2+t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e desenhar a imagem da função vetorial $ f(t) = (1 + 3t, 2 + t) $. Isso está relacionado ao tópico de funções paramétricas no estudo de geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como uma função vetorial funciona e como representar sua imagem no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função vetorial $ f(t) = (1 + 3t, 2 + t) $. Essa função atribui a cada valor de $ t $ um ponto no plano com coordenadas $ x $ e $ y $, onde:
f(t) = (1 + 3t, 2 + t)
t
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia, e para cada valor de $ t $, temos um ponto diferente x .

Passo 3

Agora, para encontrar a imagem da função, ou seja, todos os pontos (x, y) que a função pode gerar, podemos eliminar o parâmetro $ t $. Vamos resolver a segunda equação para $ t $:
t
Substituindo $ t = y - 2 $ na primeira equação:
t
Então, a relação entre $ x $ e $ y $ é:
y = 2 + t Rightarrow t = y - 2

Passo 4

Essa equação $ x = 3y - 5 $ representa uma reta no plano cartesiano. Para desenhá-la, vamos encontrar alguns pontos que satisfazem essa equação. Por exemplo:
  • Se $ y = 0 $: x = 3y - 5
  • Se $ y = 1 $: y = 0
  • Se $ y = 2 $: x = 3(0) - 5 = -5 Rightarrow (-5, 0)

Passo 5

Com esses pontos, podemos desenhar a reta no plano cartesiano. A imagem da função $ f(t) $ é essa reta, que passa pelos pontos f(t) , (-5, 0) e (-2, 1). Conforme $ t $ varia, o ponto $ (x, y) $ se move ao longo dessa reta.

Resposta

A imagem da função vetorial $ f(t) = (1 + 3t, 2 + t) $ é a reta $ x = 3y - 5 $. O gráfico dessa função é uma linha reta que passa pelos pontos f(t) = (1 + 3t, 2 + t) , x = 3y - 5 e (-5, 0).

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