Determine e desenhe a imagem da função vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e desenhar a imagem da função vetorial $ f(t) = (1 + 3t, 2 + t) $. Isso está relacionado ao tópico de funções paramétricas no estudo de geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como uma função vetorial funciona e como representar sua imagem no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função vetorial $ f(t) = (1 + 3t, 2 + t) $. Essa função atribui a cada valor de $ t $ um ponto no plano com coordenadas $ x $ e $ y $, onde:
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia, e para cada valor de $ t $, temos um ponto diferente
.
Passo 3
Agora, para encontrar a imagem da função, ou seja, todos os pontos
que a função pode gerar, podemos eliminar o parâmetro $ t $. Vamos resolver a segunda equação para $ t $:
Substituindo $ t = y - 2 $ na primeira equação:
Então, a relação entre $ x $ e $ y $ é:
Passo 4
Essa equação $ x = 3y - 5 $ representa uma reta no plano cartesiano. Para desenhá-la, vamos encontrar alguns pontos que satisfazem essa equação. Por exemplo:
- Se $ y = 0 $:
- Se $ y = 1 $:
- Se $ y = 2 $:
Passo 5
Com esses pontos, podemos desenhar a reta no plano cartesiano. A imagem da função $ f(t) $ é essa reta, que passa pelos pontos
,
e
. Conforme $ t $ varia, o ponto $ (x, y) $ se move ao longo dessa reta.
Resposta
A imagem da função vetorial $ f(t) = (1 + 3t, 2 + t) $ é a reta $ x = 3y - 5 $. O gráfico dessa função é uma linha reta que passa pelos pontos
,
e
.