Determine o domínio da função vetorial r(t) e o valor de r\left(t_{0}\right).
r(t)=\left(2 e^{-t}, \operatorname{arc} \operatorname{sen} t, \ln (1-t)\right) ; t_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o domínio de
r(t) = \bigl(2e^{-t},\,\arc\operatorname{sen} t,\,\ln(1-t)\bigr)
e o valor de r(t_{0}) para t_{0}=0. Vamos usar o fato de que o domínio de uma função vetorial é a interseção dos domínios de cada componente: exponencial, arco-seno e logaritmo.

Passo 2

A primeira componente é 2e^{-t}. Como a exponencial está definida para todo t\in\mathbb{R}, seu domínio é
(-\infty,\infty).

Passo 3

A segunda componente é \arc\operatorname{sen} t. Sabemos que \arc\operatorname{sen} t exige
-1 \le t \le 1.
Logo o domínio desta componente é
[-1,1].

Passo 4

A terceira componente é \ln(1-t). Para o logaritmo natural, precisamos de
1 - t > 0 \quad\Longrightarrow\quad t < 1.
Portanto o domínio aqui é
(-\infty,1).

Passo 5

O domínio de r(t) é a interseção
(-\infty,\infty)\;\cap\;[-1,1]\;\cap\;(-\infty,1) = [-1,1).

Passo 6

Para t_{0}=0, avaliamos cada componente:
2e^{-0} = 2,\quad \arc\operatorname{sen} 0 = 0,\quad \ln(1-0) = \ln1 = 0.
Logo
r(0) = (2,\,0,\,0).

Resposta

O domínio de r(t) é [-1,1) e
r(0) = (2,0,0).

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