Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar o domínio dessa função. Informações fornecidas:
- A expressão da função é
. - A variável de entrada é
.
A tarefa é achar todos os valores depara os quais a função faz sentido (é um número real).
Passo 2
Entendendo o que limita o domínio aqui: a operação principal é a raiz quadrada. Para a raiz quadrada principal (a que usamos em funções reais), o radicando — isto é, a expressão dentro da raiz — precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
No nosso caso, o radicando é a expressão . Portanto a condição necessária para que
seja um número real é
No nosso caso, o radicando é a expressão
Passo 3
Agora vamos resolver a desigualdade
. Isso significa: quais
tornam
não-negativo? Subtraindo
dos dois lados (essa operação preserva a desigualdade), obtemos
Explicando passo a passo: se
é maior ou igual a zero, então ao tirar
de ambos os lados obtemos que
é maior ou igual a
.
Passo 4
Converter a solução da desigualdade para notação de intervalo. A condição
corresponde ao intervalo que começa em
(incluso, porque o sinal é
) e vai até
. Em notação de intervalo isso fica
O colchete em
significa que
está permitido (pois
é bem definido). O parêntese em
é sempre usado porque
não é um ponto incluível, é apenas um limite.
Passo 5
Verificações rápidas (para fixar a ideia):
- Se
então , está definido. - Se
então , está definido. - Se
então , que não é real — portanto não pertence ao domínio.
Passo 6
Resumo intuitivo: qualquer
maior ou igual a
funciona perfeitamente porque o que está dentro da raiz fica não-negativo. Valores menores que
deixam o radicando negativo e a função não é real nesses pontos. Força aí — essa é daquelas que se resolve rápido na prova se você lembrar da regra do radicando!