(páginas 118-120): Desenhe a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: desenhar a imagem da função
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é parametrizada por
. - As coordenadas são
Passo 2
O que significa “imagem” aqui: a imagem de
é o conjunto de todos os pontos no espaço
que aparecem quando
varia em
. Formalmente,
Então a imagem é exatamente esse conjunto de pontos.
Passo 3
Interprete as coordenadas: escrever
dá
Isto mostra que
e
são constantes (sempre
e
) e apenas
varia com
. Portanto todos os pontos têm as mesmas duas primeiras coordenadas e a terceira pode ser qualquer número real.
Passo 4
Expressões equivalentes que ajudam a reconhecer a figura:
- Forma paramétrica vetorial:
Aqui
é um ponto de referência (um ponto da reta) e
é o vetor direção. O vetor direção aponta ao longo do eixo
.
- Forma cartesiana (condições que os pontos satisfazem):
Também se pode ver isso como a interseção dos planos
e
.
Passo 5
Para visualizar melhor, calcule alguns pontos concretos (pegando esses valores substituindo
):
Esses pontos estão todos alinhados verticalmente sobre a mesma posição em
e
.
Passo 6
Como desenhar passo a passo:
- Desenhe os eixos
em perspectiva: geralmente para a direita, para dentro/diagonal e para cima. - Marque o ponto
sobre o eixo a uma unidade do origem (porque e nesse ponto). - A partir de
, trace uma linha reta paralela ao eixo (vertical), estendendo tanto para cima quanto para baixo — essa linha é toda a imagem. - Opcional: indique setas nos dois sentidos para mostrar que
varia por todos os reais.
Dica visual: a projeção desta imagem no plano
é o ponto
, e a projeção no plano
é a reta vertical
no plano
.
Passo 7
Conclusão descomplicada: a imagem é uma reta no espaço, bem simples de desenhar — uma reta paralela ao eixo
que passa por
. Pode-se representá-la parametricamente, vetorialmente ou por equações cartesianas conforme mostrado acima. Parabéns, já sabe desenhar!