(páginas 118-120): Desenhe a imagem das seguintes funções:
F(t)=(1,0, t), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar a imagem da função \,F(t)=(1,0,t),\; t\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
  • A função é parametrizada por t\in\mathbb{R}.
  • As coordenadas são \,x=1,\;y=0,\;z=t.

Passo 2

O que significa “imagem” aqui: a imagem de F é o conjunto de todos os pontos no espaço \mathbb{R}^3 que aparecem quando t varia em \mathbb{R}. Formalmente,
\operatorname{Im}(F)=\{F(t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\{(1,0,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Então a imagem é exatamente esse conjunto de pontos.

Passo 3

Interprete as coordenadas: escrever F(t)=(x,y,z)
x=1,\qquad y=0,\qquad z=t.
Isto mostra que x e y são constantes (sempre 1 e 0) e apenas z varia com t. Portanto todos os pontos têm as mesmas duas primeiras coordenadas e a terceira pode ser qualquer número real.

Passo 4

Expressões equivalentes que ajudam a reconhecer a figura:
  • Forma paramétrica vetorial:
(1,0,t)=(1,0,0)+t\,(0,0,1).
Aqui (1,0,0) é um ponto de referência (um ponto da reta) e (0,0,1) é o vetor direção. O vetor direção aponta ao longo do eixo z.
  • Forma cartesiana (condições que os pontos satisfazem):
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=1,\; y=0,\; z\in\mathbb{R}\}.
Também se pode ver isso como a interseção dos planos x=1 e y=0.

Passo 5

Para visualizar melhor, calcule alguns pontos concretos (pegando esses valores substituindo t):
t=0 \Rightarrow (1,0,0),\quad t=1 \Rightarrow (1,0,1),\quad t=-1 \Rightarrow (1,0,-1),\quad t=2 \Rightarrow (1,0,2).
Esses pontos estão todos alinhados verticalmente sobre a mesma posição em x e y.

Passo 6

Como desenhar passo a passo:
  1. Desenhe os eixos \,x,\;y,\;z em perspectiva: geralmente x para a direita, y para dentro/diagonal e z para cima.
  2. Marque o ponto (1,0,0) sobre o eixo x a uma unidade do origem (porque y=0 e z=0 nesse ponto).
  3. A partir de (1,0,0), trace uma linha reta paralela ao eixo z (vertical), estendendo tanto para cima quanto para baixo — essa linha é toda a imagem.
  4. Opcional: indique setas nos dois sentidos para mostrar que t varia por todos os reais.
Dica visual: a projeção desta imagem no plano xy é o ponto (1,0), e a projeção no plano xz é a reta vertical x=1 no plano xz.

Passo 7

Conclusão descomplicada: a imagem é uma reta no espaço, bem simples de desenhar — uma reta paralela ao eixo z que passa por (1,0,0). Pode-se representá-la parametricamente, vetorialmente ou por equações cartesianas conforme mostrado acima. Parabéns, já sabe desenhar!

Resposta

\{(1,0,t)\mid t\in\mathbb{R}\} (reta paralela ao eixo z passando por (1,0,0)).

Exercícios relacionados