Determine o domínio no qual as funções a seguir são analíticas.
f(z)=e^{-x} \cos y=i e^{-x} \sin y.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
com
u(x,y)=e^{-x}\cos y,
v(x,y)=e^{-x}\sin y,
e pede em que domínio de z=x+iy essa função é analítica. Vamos usar o critério de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\cos y\bigr) =-e^{-x}\cos y,
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x}\cos y\bigr) =-e^{-x}\sin y,
\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\sin y\bigr) =-e^{-x}\sin y,
\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x}\sin y\bigr) =e^{-x}\cos y.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann são
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo, obtemos:
-e^{-x}\cos y \stackrel{!}{=} e^{-x}\cos y \quad\Longrightarrow\quad \cos y=0,
-e^{-x}\sin y \stackrel{!}{=} -\,\bigl(-e^{-x}\sin y\bigr) =e^{-x}\sin y \quad\Longrightarrow\quad -\,\sin y=\sin y \quad\Longrightarrow\quad \sin y=0.
Mas a segunda condição daria \sin y=0, e a primeira \cos y=0. As duas só se satisfazem simultaneamente se
\cos y=0 \quad\text{e}\quad \sin y=0,
o que não ocorre para nenhum y.

Passo 4

De fato, examinando as equações separadamente vemos que \frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y e \frac{\partial v}{\partial x}=-e^{-x}\sin y coincidem sempre,
mas \frac{\partial u}{\partial x}=-e^{-x}\cos y só iguala \frac{\partial v}{\partial y}=e^{-x}\cos y quando \cos y=0.
Isso daria linhas y=(2k+1)\pi/2, que não são abertos em \C.

Passo 5

Como não existe nenhum conjunto aberto em que ambas as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas, não há domínio em que f seja holomorfa.

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio aberto de \C.

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