Determine o domínio no qual as funções a seguir são analíticas.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede em que domínio de
essa função é analítica. Vamos usar o critério de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann são
Substituindo, obtemos:
Mas a segunda condição daria
, e a primeira
. As duas só se satisfazem simultaneamente se
o que não ocorre para nenhum
.
Passo 4
De fato, examinando as equações separadamente vemos que
e
coincidem sempre,
mas só iguala
quando
.
Isso daria linhas , que não são abertos em
.
mas
Isso daria linhas
Passo 5
Como não existe nenhum conjunto aberto em que ambas as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas, não há domínio em que
seja holomorfa.
Resposta
A função não é analítica em nenhum domínio aberto de
.