Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
f(z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i\,\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
não é analítica em nenhum ponto de \mathbb{C}. Para isso, vamos escrever f como u(x,y)+i\,v(x,y) e aplicar o teste de Cauchy–Riemann: se em algum ponto ambos
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x
não forem simultaneamente satisfeitos, concluímos que f não é diferenciável complexa ali, logo não é analítica.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária de f:
u(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}, \quad v(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}.
Note que f não está definida em (x,y)=(0,0), mas vamos checar Cauchy–Riemann em qualquer outro ponto.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais via regra do quociente.
u_x =\frac{(1)(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}, \quad u_y =\frac{0\cdot(x^2+y^2)-x(2y)}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
v_x =\frac{0\cdot(x^2+y^2)-y(2x)}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}, \quad v_y =\frac{(1)(x^2+y^2)-y(2y)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x \stackrel{?}{=} v_y \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\stackrel{?}{=}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.
O lado esquerdo é \frac{y^2-x^2}{r^4}=-\frac{x^2-y^2}{r^4}, que só coincide com o direito se \frac{x^2-y^2}{r^4}=0, isto é, x^2=y^2. Mesmo assim, resta checar
u_y \stackrel{?}{=} -\,v_x \quad\Longrightarrow\quad -\frac{2xy}{r^4}\stackrel{?}{=} -\bigl(-\frac{2xy}{r^4}\bigr) =\frac{2xy}{r^4},
que só seria verdade se xy=0. Não há ponto não singular x^2+y^2\neq0 que satisfaça simultaneamente x^2=y^2 e xy=0. Logo, não há ponto onde ambos os testes sejam cumpridos.

Passo 5

Como as equações de Cauchy–Riemann falham em todo ponto do domínio de f, não existe região em que f seja diferenciável como função de variável complexa. Portanto, f não é analítica em nenhum ponto de \mathbb{C}\setminus\{0\}, e nem em 0 (onde não está definida).

Resposta

A função f(z) não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto do seu domínio, logo não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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