Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
não é analítica em nenhum ponto de
. Para isso, vamos escrever
como
e aplicar o teste de Cauchy–Riemann: se em algum ponto ambos
não forem simultaneamente satisfeitos, concluímos que
não é diferenciável complexa ali, logo não é analítica.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária de
:
Note que
não está definida em
, mas vamos checar Cauchy–Riemann em qualquer outro ponto.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais via regra do quociente.
Passo 4
Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
O lado esquerdo é
, que só coincide com o direito se
, isto é,
. Mesmo assim, resta checar
que só seria verdade se
. Não há ponto não singular
que satisfaça simultaneamente
e
. Logo, não há ponto onde ambos os testes sejam cumpridos.
Passo 5
Como as equações de Cauchy–Riemann falham em todo ponto do domínio de
, não existe região em que
seja diferenciável como função de variável complexa. Portanto,
não é analítica em nenhum ponto de
, e nem em
(onde não está definida).
Resposta
A função
não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto do seu domínio, logo não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.