Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
f(z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
onde z=x+iy. Para investigar se f é analítica em algum ponto de \mathbb{C}\setminus\{0\}, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann. Precisamos escrever
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
e calcular \partial u/\partial x, \partial u/\partial y, \partial v/\partial x e \partial v/\partial y.

Passo 2

Identificando
u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\quad v(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
calculamos as derivadas parciais. Como r^{2}=x^{2}+y^{2}, tem-se
u_x=\frac{(1)\,r^{2}-x\cdot2x}{r^{4}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{r^{4}}, \quad u_y=\frac{0\cdot r^{2}-x\cdot2y}{r^{4}} =-\frac{2xy}{r^{4}},
v_x=\frac{0\cdot r^{2}-y\cdot2x}{r^{4}} =-\frac{2xy}{r^{4}}, \quad v_y=\frac{(1)\,r^{2}-y\cdot2y}{r^{4}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{4}}.

Passo 3

As condições de Cauchy–Riemann exigem
u_x=v_y \quad\text{e}\quad u_y=-\,v_x.
Substituindo, obtemos
\frac{y^{2}-x^{2}}{r^{4}} \;\stackrel{?}{=}\; \frac{x^{2}-y^{2}}{r^{4}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-x^{2}=x^{2}-y^{2}\;\Longrightarrow\;x^{2}=y^{2},
-\frac{2xy}{r^{4}} \;\stackrel{?}{=}\; -\bigl(-\frac{2xy}{r^{4}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad -2xy=2xy\;\Longrightarrow\;xy=0.
As duas igualdades só podem ocorrer simultaneamente em x=y=0, mas aí f nem está definida.

Passo 4

Concluímos que não há ponto (x,y)\neq(0,0) onde as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Logo, f não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

Resposta

A função f(z)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}+i\,\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto de \mathbb{C}, portanto não é analítica em nenhum ponto.

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