Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
onde
. Para investigar se
é analítica em algum ponto de
, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann. Precisamos escrever
e calcular
,
,
e
.
Passo 2
Identificando
calculamos as derivadas parciais. Como
, tem-se
Passo 3
As condições de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo, obtemos
As duas igualdades só podem ocorrer simultaneamente em
, mas aí
nem está definida.
Passo 4
Concluímos que não há ponto
onde as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Logo,
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Resposta
A função
não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto de
, portanto não é analítica em nenhum ponto.