Determine o domínio das funções vetoriais.
r(t)=\frac{t-2}{t+2} \vec{i}+\sin t \vec{j}+\ln (t+1) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de
r(t) = \frac{t-2}{t+2}\,\vec{i} + \sin t\,\vec{j} + \ln(t+1)\,\vec{k}.
O domínio de uma função vetorial é a interseção dos domínios de cada componente.

Passo 2

Para a componente \displaystyle \frac{t-2}{t+2} temos uma função racional. O denominador não pode ser zero, logo exigimos
t+2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t \neq -2.

Passo 3

A componente \sin t é uma função trigonométrica definida para todo t\in\mathbb{R}. Não impõe restrição adicional.

Passo 4

A componente \ln(t+1) exige argumento positivo, portanto
t+1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad t > -1.

Passo 5

Agora intersectamos as condições:
  1. t \neq -2
  2. t > -1
Mas -2 já está fora de t>-1. Logo a única restrição relevante é t>-1.

Resposta

O domínio de r(t) é \;( -1,\infty).

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