Questão 2. Considere a seguinte função:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}, \text { se } x \geq 0 \\\ x-1, \text { se } x<0 \end{array}\right.
a) Construa o gráfico de f(x)
b) Encontre, se existir \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)
c) Encontre, se existir \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2},&\text{se }x\ge0,\\\ x-1,&\text{se }x<0, \end{cases}
e pede (a) o gráfico de f, (b) \lim_{x\to0^{-}}f(x) e (c) \lim_{x\to0^{+}}f(x). Vamos usar conceitos básicos de funções por partes, esboçar cada ramo separadamente e aplicar a definição de limite lateral.

Passo 2

Para desenhar o gráfico:
  1. Para x<0, f(x)=x-1 é uma reta de coeficiente angular 1 e intercepto -1. Esse ramo existe apenas até, mas não incluindo, x=0. Então em x=0 temos um ponto aberto em (0,-1).
  2. Para x\ge0, f(x)=x^{2} é a parábola clássica. Em x=0 a parábola atinge f(0)=0, com ponto fechado em (0,0). Em seguida cresce para a direita.

Passo 3

Cálculo de \lim_{x\to0^{-}}f(x). Ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda, usamos f(x)=x-1, logo
\lim_{x\to0^{-}}f(x) =\lim_{x\to0^{-}}(x-1) =0-1 =-1.

Passo 4

Cálculo de \lim_{x\to0^{+}}f(x). Ao nos aproximarmos de 0 pela direita, usamos f(x)=x^{2}, logo
\lim_{x\to0^{+}}f(x) =\lim_{x\to0^{+}}x^{2} =0^{2} =0.

Resposta

a) O gráfico de f é a reta y=x-1 para x<0 com ponto aberto em (0,-1), e a parábola y=x^{2} para x\ge0 com ponto fechado em (0,0).
b) \lim_{x\to0^{-}}f(x)=-1
c) \lim_{x\to0^{+}}f(x)=0

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