Determine o domínio das funções vetoriais:
\vec{r}(t)=\left\langle\ln t, \frac{t}{t-1}, e^{t}\right\rangle,

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função vetorial
\vec{r}(t)=\left\langle \ln t,\; \frac{t}{t-1},\; e^{t}\right\rangle.
Pergunta principal:
  • Qual é o conjunto de valores de t para os quais \vec{r}(t) está bem definida?
Informações relevantes do enunciado (componentes que precisam ser verificadas):
  • Componente 1: \ln t.
  • Componente 2: \dfrac{t}{t-1}.
  • Componente 3: e^{t}.

Passo 2

Ideia de como encontrar o domínio (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Uma função vetorial \vec{r}(t) está definida em um valor t se, e somente se, todas as suas componentes estão definidas naquele t.
  • Portanto, o domínio de \vec{r}(t) é a interseção dos domínios das três componentes. Em símbolos:
D(\vec{r}) = D_1 \cap D_2 \cap D_3,
onde D_1,D_2,D_3 são os domínios das componentes 1, 2 e 3, respectivamente.

Passo 3

Analisando a primeira componente \ln t:
  • A função logaritmo natural \ln t está definida somente para argumentos positivos.
  • Isso significa que a condição necessária e suficiente para \ln t existir é
t>0.
  • Logo, o domínio da primeira componente é
D_1 = \{\, t\in\mathbb{R} \mid t>0 \,\}.
Comentário rápido para firmar: t=1 é permitido aqui porque \ln 1 = 0. Já t=0 ou t<0 não valem porque \ln 0 não existe e \ln de número negativo também não é definido nos reais.

Passo 4

Analisando a segunda componente \dfrac{t}{t-1}:
  • Essa expressão é uma fração. Frações são definidas sempre que o denominador for diferente de zero.
  • Aqui o denominador é t-1. Então exige-se
t-1 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t \neq 1.
  • Não há outra restrição (numerador t pode ser qualquer real).
  • Portanto o domínio da segunda componente é
D_2 = \{\, t\in\mathbb{R} \mid t\neq 1 \,\}.

Passo 5

Analisando a terceira componente e^{t}:
  • A função exponencial real e^{t} está definida para todo número real t.
  • Assim o domínio da terceira componente é todo o conjunto dos reais:
D_3 = \mathbb{R}.

Passo 6

Combinação (intersecção dos domínios):
  • Usando o resultado do Passo 2,
D(\vec{r}) = D_1 \cap D_2 \cap D_3.
  • Substituindo os conjuntos encontrados:
D(\vec{r}) = \{\, t>0 \,\} \cap \{\, t\neq 1 \,\} \cap \mathbb{R}.
  • Simplificando a intersecção (manter todas as restrições): os t devem ser positivos e, além disso, não podem ser 1. (A forma final simplificada será colocada na seção de resposta.)

Resposta

(0,1)\cup(1,\infty)

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