Determine o domínio das funções vetoriais:
,
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função vetorial
Pergunta principal:
- Qual é o conjunto de valores de
para os quais está bem definida?
Informações relevantes do enunciado (componentes que precisam ser verificadas):
- Componente 1:
. - Componente 2:
. - Componente 3:
.
Passo 2
Ideia de como encontrar o domínio (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Uma função vetorial
está definida em um valor se, e somente se, todas as suas componentes estão definidas naquele . - Portanto, o domínio de
é a interseção dos domínios das três componentes. Em símbolos:
onde
são os domínios das componentes 1, 2 e 3, respectivamente.
Passo 3
Analisando a primeira componente
:
- A função logaritmo natural
está definida somente para argumentos positivos. - Isso significa que a condição necessária e suficiente para
existir é
- Logo, o domínio da primeira componente é
Comentário rápido para firmar:
é permitido aqui porque
. Já
ou
não valem porque
não existe e
de número negativo também não é definido nos reais.
Passo 4
Analisando a segunda componente
:
- Essa expressão é uma fração. Frações são definidas sempre que o denominador for diferente de zero.
- Aqui o denominador é
. Então exige-se
- Não há outra restrição (numerador
pode ser qualquer real). - Portanto o domínio da segunda componente é
Passo 5
Analisando a terceira componente
:
- A função exponencial real
está definida para todo número real . - Assim o domínio da terceira componente é todo o conjunto dos reais:
Passo 6
Combinação (intersecção dos domínios):
- Usando o resultado do Passo 2,
- Substituindo os conjuntos encontrados:
- Simplificando a intersecção (manter todas as restrições): os
devem ser positivos e, além disso, não podem ser . (A forma final simplificada será colocada na seção de resposta.)