Um fazendeiro dispõe de
de cerca para construir um curral formado por um retângulo encimado por um semicírculo.
(a) Determine a função que descreve a área do curral em função do raio do semicírculo.
(b) Calcule a área do curral quando o raio do semicírculo for igual a 30 m .
(a) Determine a função que descreve a área do curral em função do raio do semicírculo.
(b) Calcule a área do curral quando o raio do semicírculo for igual a 30 m .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a função que descreve a área do curral em função do raio do semicírculo.
- (b) Calcular a área do curral quando o raio do semicírculo for igual a
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura:
- A quantidade total de cerca disponível é
. - O curral é formado por um retângulo encimado por um semicírculo. O semicírculo tem raio
. - A largura do retângulo é igual ao diâmetro do semicírculo, isto é,
. - O lado vertical do retângulo (altura) será chamado de
. - A cerca contorna todo o perímetro externo: a base do retângulo, os dois lados verticais e o arco do semicírculo. Não há outras medidas numéricas na figura além da forma geométrica.
Passo 2
Expressar a condição do comprimento total da cerca (perímetro disponível) em termos de
e
.
Explicando cada parte do contorno:
- A base do retângulo tem comprimento
(diâmetro do semicírculo). - Os dois lados verticais juntos têm comprimento
. - O arco do semicírculo tem comprimento igual à metade da circunferência de raio
, isto é .
Somando todas as partes, o comprimento total da cerca é
Como há
de cerca disponível, obtemos a equação
Isto liga
a
.
Passo 3
Isolar
em função de
.
Partindo de
subtrai-se
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Para simplificar a escrita, pode-se fatorar
nos termos que o contêm:
Passo 4
Expressar a área total
do curral em função de
e
.
A área é a soma da área do retângulo com a área do semicírculo:
- Área do retângulo: base
altura . - Área do semicírculo: metade da área do círculo de raio
, isto é .
Logo,
Passo 5
Substituir
(obtido no Passo 3) em
e simplificar.
Substituindo
na expressão da área:
O fator
no numerador cancela com o denominador
no primeiro termo, ficando
Desenvolvendo e juntando termos em
:
Calcular o coeficiente de
:
Portanto a função fica
Passo 6
Calcular a área para
(parte b).
Substituindo
em
:
Calcular passo a passo:
Logo
Separando os termos:
Portanto a forma exata é
Para obter uma aproximação numérica, usar
:
então
Também é bom verificar se a altura
resultante é positiva (o que indica que o curral é fisicamente possível) usando
. Para
:
que é positivo, portanto a configuração com
é viável.
Resposta
(a)
(b)
(b)