Um fazendeiro dispõe de 600 m de cerca para construir um curral formado por um retângulo encimado por um semicírculo.
(a) Determine a função que descreve a área do curral em função do raio do semicírculo.
(b) Calcule a área do curral quando o raio do semicírculo for igual a 30 m .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a função que descreve a área do curral em função do raio do semicírculo.
  • (b) Calcular a área do curral quando o raio do semicírculo for igual a 30\\ \text{m}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura:
  • A quantidade total de cerca disponível é \,600\\ \text{m}.
  • O curral é formado por um retângulo encimado por um semicírculo. O semicírculo tem raio r.
  • A largura do retângulo é igual ao diâmetro do semicírculo, isto é, 2r.
  • O lado vertical do retângulo (altura) será chamado de h.
  • A cerca contorna todo o perímetro externo: a base do retângulo, os dois lados verticais e o arco do semicírculo. Não há outras medidas numéricas na figura além da forma geométrica.

Passo 2

Expressar a condição do comprimento total da cerca (perímetro disponível) em termos de r e h.
Explicando cada parte do contorno:
  • A base do retângulo tem comprimento 2r (diâmetro do semicírculo).
  • Os dois lados verticais juntos têm comprimento 2h.
  • O arco do semicírculo tem comprimento igual à metade da circunferência de raio r, isto é \frac{1}{2}\cdot 2\pi r = \pi r.
Somando todas as partes, o comprimento total da cerca é
2h + 2r + \pi r.
Como há \,600\\ \text{m} de cerca disponível, obtemos a equação
2h + 2r + \pi r = 600.
Isto liga h a r.

Passo 3

Isolar h em função de r.
Partindo de
2h + 2r + \pi r = 600,
subtrai-se 2r+\pi r de ambos os lados:
2h = 600 - 2r - \pi r.
Dividindo por 2:
h = \frac{600 - 2r - \pi r}{2}.
Para simplificar a escrita, pode-se fatorar r nos termos que o contêm:
h = \frac{600 - r(2+\pi)}{2}.

Passo 4

Expressar a área total A do curral em função de r e h.
A área é a soma da área do retângulo com a área do semicírculo:
  • Área do retângulo: base \times altura = 2r \cdot h.
  • Área do semicírculo: metade da área do círculo de raio r, isto é \frac{1}{2}\pi r^{2}.
Logo,
A(r) = 2r\cdot h + \frac{1}{2}\pi r^{2}.

Passo 5

Substituir h (obtido no Passo 3) em A(r) e simplificar.
Substituindo h = \dfrac{600 - r(2+\pi)}{2} na expressão da área:
A(r)=2r\cdot\frac{600 - r(2+\pi)}{2}+\frac{1}{2}\pi r^{2}.
O fator 2 no numerador cancela com o denominador 2 no primeiro termo, ficando
A(r)=r\bigl(600 - r(2+\pi)\bigr)+\frac{1}{2}\pi r^{2}.
Desenvolvendo e juntando termos em r^{2}:
A(r)=600r - r^{2}(2+\pi)+\frac{1}{2}\pi r^{2}.
Calcular o coeficiente de r^{2}:
- (2+\pi) + \frac{1}{2}\pi = -2 -\pi + \frac{1}{2}\pi = -2 -\frac{1}{2}\pi.
Portanto a função fica
A(r)=600r -\left(2+\frac{\pi}{2}\right)r^{2}.

Passo 6

Calcular a área para r=30\\ \text{m} (parte b).
Substituindo r=30 em \displaystyle A(r)=600r -\left(2+\frac{\pi}{2}\right)r^{2}:
A(30)=600\cdot 30 -\left(2+\frac{\pi}{2}\right)\cdot 30^{2}.
Calcular passo a passo:
600\cdot 30 = 18000, \qquad 30^{2}=900.
Logo
A(30)=18000 -\left(2+\frac{\pi}{2}\right)\cdot 900.
Separando os termos:
\left(2+\frac{\pi}{2}\right)\cdot 900 = 2\cdot 900 + \frac{\pi}{2}\cdot 900 = 1800 + 450\pi.
Portanto a forma exata é
A(30)=18000 - 1800 - 450\pi = 16200 - 450\pi.
Para obter uma aproximação numérica, usar \pi\approx 3{,}14159265:
450\pi \approx 450\cdot 3{,}14159265 \approx 1413{,}7167,
então
A(30)\approx 16200 - 1413{,}7167 \approx 14786{,}2833\\ \text{m}^{2}.
Também é bom verificar se a altura h resultante é positiva (o que indica que o curral é fisicamente possível) usando h=\dfrac{600 - r(2+\pi)}{2}. Para r=30:
h=\frac{600 - 30(2+\pi)}{2}=\frac{600-60-30\pi}{2}=\frac{540-30\pi}{2}=270-15\pi\approx 222{,}88\\ \text{m},
que é positivo, portanto a configuração com r=30\\ \text{m} é viável.

Resposta

(a) \displaystyle A(r)=600r-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)r^{2}.
(b) \displaystyle A(30)=16200-450\pi\approx 14786{,}2833\\ \text{m}^{2}.

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