Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares congruentes, de dimensões a e b, com um lado comum de medida a. Sabendo que a área de cada pasto é igual a 400 m^{2},
(a) determine a função que descreve o comprimento total da cerca em função de uma das dimensões do pasto.
(b) calcule o comprimento total da cerca quando a=10 m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dois pastos são retangulares, congruentes, com dimensões a e b.
  • Eles têm um lado comum de medida a (ou seja, estão encostados ao longo de um lado de comprimento a).
  • A área de cada pasto vale 400\\ \text{m}^2.
    O que se pede:
    (a) determinar a função que descreve o comprimento total da cerca em função de uma das dimensões do pasto (escolher a);
    (b) calcular o comprimento total da cerca quando a=10\\ \text{m}.

Passo 2

Vamos obter uma expressão para o comprimento total da cerca em termos de a e b.
  • O perímetro de um retângulo de lados a e b é 2(a+b).
  • Se houvessem duas cercas separadas somaria 2\cdot 2(a+b)=4(a+b).
  • Como os dois pastos compartilham um lado de comprimento a, esse lado fica interno e não precisa de cerca. Na soma 4(a+b) esse lado apareceu duas vezes (uma vez em cada perímetro), então devemos subtrair 2a.
    Portanto o comprimento total da cerca L em função de a e b é
L=4(a+b)-2a=2a+4b.

Passo 3

Usar a informação da área para eliminar b.
  • A área de cada pasto é ab=400, então
b=\frac{400}{a}.
Aqui a>0 porque é uma medida de comprimento.

Passo 4

Substituir b na expressão de L para obter L somente em função de a.
L(a)=2a+4\left(\frac{400}{a}\right)=2a+\frac{1600}{a}.
Explicando os termos: o primeiro termo 2a vem das duas arestas externas de comprimento a; o segundo termo \dfrac{1600}{a} vem das quatro arestas externas de comprimento b expressas via b=400/a. A unidade é metros, então L(a) está em metros.

Passo 5

Calcular o comprimento total quando a=10\\ \text{m}.
  • Primeiro b=\dfrac{400}{10}=40\\ \text{m}.
  • Usando L=2a+4b:
L=2\cdot 10 + 4\cdot 40 =20+160=180.
Logo o comprimento total da cerca é 180\\ \text{m}.

Resposta

(a) L(a)=2a+\dfrac{1600}{a} (em metros)
(b) L(10)=180\\ \text{m}

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