Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares congruentes, de dimensões
e
, com um lado comum de medida
. Sabendo que a área de cada pasto é igual a
,
(a) determine a função que descreve o comprimento total da cerca em função de uma das dimensões do pasto.
(b) calcule o comprimento total da cerca quando
.
(a) determine a função que descreve o comprimento total da cerca em função de uma das dimensões do pasto.
(b) calcule o comprimento total da cerca quando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Dois pastos são retangulares, congruentes, com dimensões
e . - Eles têm um lado comum de medida
(ou seja, estão encostados ao longo de um lado de comprimento ). - A área de cada pasto vale
.
O que se pede:
(a) determinar a função que descreve o comprimento total da cerca em função de uma das dimensões do pasto (escolher);
(b) calcular o comprimento total da cerca quando.
Passo 2
Vamos obter uma expressão para o comprimento total da cerca em termos de
e
.
- O perímetro de um retângulo de lados
e é . - Se houvessem duas cercas separadas somaria
. - Como os dois pastos compartilham um lado de comprimento
, esse lado fica interno e não precisa de cerca. Na soma esse lado apareceu duas vezes (uma vez em cada perímetro), então devemos subtrair .
Portanto o comprimento total da cercaem função de e é
Passo 3
Usar a informação da área para eliminar
.
- A área de cada pasto é
, então
Aqui
porque é uma medida de comprimento.
Passo 4
Substituir
na expressão de
para obter
somente em função de
.
Explicando os termos: o primeiro termo
vem das duas arestas externas de comprimento
; o segundo termo
vem das quatro arestas externas de comprimento
expressas via
. A unidade é metros, então
está em metros.
Passo 5
Calcular o comprimento total quando
.
- Primeiro
. - Usando
:
Logo o comprimento total da cerca é
.
Resposta
(a)
(em metros)
(b)
(b)