Determine o domínio das funções:
y=2-\csc \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
y = 2 - \csc\!\left(2x-\frac{\pi}{2}\right).
Informações dadas: a expressão dentro do cosseno é \,2x-\frac{\pi}{2}\,. O que precisamos encontrar é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está bem definida (ou seja, para os quais não há operação proibida).

Passo 2

Entender quando a função é proibida: pela definição, \csc t=\dfrac{1}{\sin t}. Logo, \csc t não está definida quando \sin t=0, porque aí ocorreria divisão por zero. Portanto precisamos excluir os x tais que
\sin\!\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=0.
O domínio será todos os reais, exceto esses pontos.

Passo 3

Resolver a equação \sin\theta=0: os zeros da função seno ocorrem exatamente em \theta = k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Isso vem da propriedade do seno no círculo unitário — ele zera nos múltiplos inteiros de \pi.

Passo 4

Aplicar isso ao nosso argumento \theta=2x-\frac{\pi}{2}. Igualando,
2x-\frac{\pi}{2}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora isolamos x: primeiro somamos \frac{\pi}{2} em ambos os lados,
2x = k\pi + \frac{\pi}{2},
e em seguida dividimos por 2,
x = \frac{k\pi + \frac{\pi}{2}}{2}.

Passo 5

Simplificar a expressão de x: distribuir a divisão por 2
x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}.
Portanto os pontos que devem ser excluídos do domínio são exatamente
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação com exemplos rápidos: para k=0 obtemos x=\frac{\pi}{4}. Substituindo, o argumento fica 2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}=0, e \sin 0=0 -> proibido. Para k=1 obtemos x=\frac{3\pi}{4}, outro ponto proibido. Para x=0 (não listado) o argumento é -\frac{\pi}{2} e \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1, então está OK. Isso confirma que a fórmula para os pontos excluídos está correta.

Passo 7

Expressão final do domínio em forma concisa: é o conjunto dos reais menos a sequência de pontos \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}. Em notação,
\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}

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