Determine o domínio das funções:
y=2-\csc \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
y=2-\csc \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações dadas: a expressão dentro do cosseno é
. O que precisamos encontrar é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida (ou seja, para os quais não há operação proibida).
Passo 2
Entender quando a função é proibida: pela definição,
. Logo,
não está definida quando
, porque aí ocorreria divisão por zero. Portanto precisamos excluir os
tais que
O domínio será todos os reais, exceto esses pontos.
Passo 3
Resolver a equação
: os zeros da função seno ocorrem exatamente em
, com
. Isso vem da propriedade do seno no círculo unitário — ele zera nos múltiplos inteiros de
.
Passo 4
Aplicar isso ao nosso argumento
. Igualando,
Agora isolamos
: primeiro somamos
em ambos os lados,
e em seguida dividimos por
,
Passo 5
Simplificar a expressão de
: distribuir a divisão por
dá
Portanto os pontos que devem ser excluídos do domínio são exatamente
Passo 6
Verificação com exemplos rápidos: para
obtemos
. Substituindo, o argumento fica
, e
-> proibido. Para
obtemos
, outro ponto proibido. Para
(não listado) o argumento é
e
, então está OK. Isso confirma que a fórmula para os pontos excluídos está correta.
Passo 7
Expressão final do domínio em forma concisa: é o conjunto dos reais menos a sequência de pontos
. Em notação,