Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações dadas: a base da potência é
e o membro direito é
. A pergunta é: quais os valores de
que satisfazem essa igualdade?
Passo 2
Primeira observação útil (fato numérico):
é uma potência de
, pois
Isso transforma a equação em uma comparação entre potências de mesma base.
Passo 3
Princípio que vamos usar: se
e
, então a função
é injetora, isto é, se
então necessariamente
. Uma forma prática de ver isso é aplicar o logaritmo de base
em ambos os lados:
e
, logo
. Aqui temos
que satisfaz
e
, então podemos igualar os expoentes.
Passo 4
Usando que
e a propriedade acima, igualamos os expoentes:
Agora transformamos isso numa equação polinomial subtraindo
de ambos os lados:
ou seja
Passo 5
Vamos resolver a quadrática
. Procuro dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
, pois
e
. Assim fatoramos:
Passo 6
Da fatoração segue que as raízes são obtidas quando cada fator é zero:
Passo 7
Verificação rápida (sempre boa prática): para
,
e para
,
Ambas satisfazem a equação original, portanto são soluções válidas.