Resolva as equações abaixo em x :
7^{x^{2}-5 x+6}=49

Passo 1

O enunciado pede para resolver em x a equação
7^{x^{2}-5x+6}=49.
Informações dadas: a base da potência é 7 e o membro direito é 49. A pergunta é: quais os valores de x que satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Primeira observação útil (fato numérico): 49 é uma potência de 7, pois
49 = 7\cdot7 = 7^{2}.
Isso transforma a equação em uma comparação entre potências de mesma base.

Passo 3

Princípio que vamos usar: se a>0 e a\neq1, então a função t\mapsto a^{t} é injetora, isto é, se a^{u}=a^{v} então necessariamente u=v. Uma forma prática de ver isso é aplicar o logaritmo de base a em ambos os lados: \log_{a}(a^{u})=u e \log_{a}(a^{v})=v, logo u=v. Aqui temos a=7 que satisfaz a>0 e a\neq1, então podemos igualar os expoentes.

Passo 4

Usando que 49=7^{2} e a propriedade acima, igualamos os expoentes:
x^{2}-5x+6 = 2.
Agora transformamos isso numa equação polinomial subtraindo 2 de ambos os lados:
x^{2}-5x+6-2=0,
ou seja
x^{2}-5x+4=0.

Passo 5

Vamos resolver a quadrática \,x^{2}-5x+4=0. Procuro dois números cujo produto seja 4 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de x). Esses números são -1 e -4, pois (-1)\cdot(-4)=4 e (-1)+(-4)=-5. Assim fatoramos:
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).

Passo 6

Da fatoração segue que as raízes são obtidas quando cada fator é zero:
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1,
x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4.

Passo 7

Verificação rápida (sempre boa prática): para x=1,
x^{2}-5x+6=1-5+6=2 \quad\Rightarrow\quad 7^{2}=49,
e para x=4,
x^{2}-5x+6=16-20+6=2 \quad\Rightarrow\quad 7^{2}=49.
Ambas satisfazem a equação original, portanto são soluções válidas.

Resposta

x=1\n x=4

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