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Questão Deseja-se construir uma caixa de base retangular e altura de 30 cm . Para isso usa-se uma folha de papelão. Sabendo que a área total da caixa, incluindo faces, base e tampa é de
, determine as dimensões da caixa. Se a folha de papelão é retangular, determine as dimensões ideais para a folha considerando que serão cortadas as pontas da folha na forma de um retângulo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras. Informações fornecidas:
- A altura da caixa é
. - A área total da caixa (incluindo as faces laterais, a base e a tampa) é
. - A base da caixa é retangular (dois lados distintos que vou chamar de
e ). - A folha de papelão é retangular e nas pontas dessa folha serão cortados retângulos para montar a caixa por dobramento.
Perguntas pedidas:
- Determine as dimensões da caixa (isto é, os comprimentos
e da base, já que a altura é ). - Determinar as dimensões ideais da folha retangular (largura e comprimento) supondo que se cortam as pontas na forma de um retângulo para então dobrar as abas e formar a caixa.
Passo 2
Defino variáveis para organizar: seja
e
as dimensões da base da caixa (em cm) e seja
a altura. Pelo enunciado temos
.
Agora vou escrever a fórmula da área total de uma caixa retangular fechada (com tampa). Expliquei isso porque você pediu um passo-a-passo didático: uma caixa retangular com base
e altura
tem
- área da base:
, - área da tampa (igual à base):
, - área das duas faces laterais que têm dimensão
: total , - área das outras duas faces laterais que têm dimensão
: total .
Somando tudo, a área total é
Aqui cada símbolo significa:
-
e : lados da base (cm), -
: altura (cm), - toda expressão em
dá área em .
Substituindo
e impondo que a área total é
, obtemos a equação que a base deve satisfazer.
Passo 3
Substituo na fórmula:
Divido ambos os lados por
para simplificar:
Esta é a equação que relaciona
e
. Uma técnica muito útil aqui é completar a fatoração para obter um produto mais simples: somo
aos dois lados para poder escrever o lado esquerdo como produto:
Agora o lado esquerdo é fatorável como
Isto é muito prático: em vez de buscar
diretamente, podemos analisar pares
cujo produto é
.
Passo 4
Interpretação da fatoração e busca de soluções práticas. A igualdade
diz que
e
são fatores positivos de
. Há muitas possibilidades reais; portanto há infinitas soluções em números reais positivas. Se quisermos soluções inteiras (práticas para uma caixa feita com medidas inteiras), buscamos pares de inteiros positivos cujo produto é
.
Fatoração prima de
(apenas para ver as opções):
Um par de fatores conveniente e simétrico é
e
, pois
. Assim podemos escolher
Resolvendo,
Isso nos dá uma base
com altura
. Vou verificar rapidamente na fórmula da área para confirmar:
confere com o enunciado.
Observação pedagógica: existem outras soluções inteiras (por exemplo escolher outro par de divisores de
), e existe também a solução em que a base é quadrada (
) que dá
. Mas a solução
é bonita porque dá medidas inteiras e práticas.
Passo 5
Agora escolhemos dimensões ideais para a folha de papelão, supondo o procedimento clássico: corta-se nas quatro pontas retângulos (aqui, para obter altura
ao dobrar, os retângulos terão dimensão
na direção do recorte) e dobra-se as abas para formar as faces laterais. Para esse método (o corte nos cantos gerando abas que se dobram), a folha retangular necessária tem comprimento e largura dados por:
Explicando por que: pense na folha plana — a parte central será a base
; de cada lado da base deve haver uma aba de altura
para dobrar e formar as faces laterais, portanto soma-se
a cada dimensão da base.
Substituindo
,
e
:
Portanto a folha ideal mede
. (Isto corresponde a cortar quatro retângulos de
e
nas pontas conforme o modo de montagem por dobramento.)
Resposta
Dimensões da caixa:
Dimensões ideais da folha: