6 { }^{\text {a }} Questão Deseja-se construir uma caixa de base retangular e altura de 30 cm . Para isso usa-se uma folha de papelão. Sabendo que a área total da caixa, incluindo faces, base e tampa é de 1800 \mathrm{~cm}^{2}, determine as dimensões da caixa. Se a folha de papelão é retangular, determine as dimensões ideais para a folha considerando que serão cortadas as pontas da folha na forma de um retângulo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras. Informações fornecidas:
  • A altura da caixa é \,30\\ \text{cm}.
  • A área total da caixa (incluindo as faces laterais, a base e a tampa) é \,1800\\ \text{cm}^2.
  • A base da caixa é retangular (dois lados distintos que vou chamar de x e y).
  • A folha de papelão é retangular e nas pontas dessa folha serão cortados retângulos para montar a caixa por dobramento.
Perguntas pedidas:
  1. Determine as dimensões da caixa (isto é, os comprimentos x e y da base, já que a altura é 30\\ \text{cm}).
  2. Determinar as dimensões ideais da folha retangular (largura e comprimento) supondo que se cortam as pontas na forma de um retângulo para então dobrar as abas e formar a caixa.

Passo 2

Defino variáveis para organizar: seja \,x e \,y as dimensões da base da caixa (em cm) e seja \,h a altura. Pelo enunciado temos \,h=30.
Agora vou escrever a fórmula da área total de uma caixa retangular fechada (com tampa). Expliquei isso porque você pediu um passo-a-passo didático: uma caixa retangular com base x\times y e altura h tem
  • área da base: \,xy,
  • área da tampa (igual à base): \,xy,
  • área das duas faces laterais que têm dimensão x\times h: total \,2xh,
  • área das outras duas faces laterais que têm dimensão y\times h: total \,2yh.
Somando tudo, a área total é
\text{Área total} = 2xy + 2xh + 2yh = 2\bigl(xy + h(x+y)\bigr).Á
Aqui cada símbolo significa:
  • \,x e \,y: lados da base (cm),
  • \,h: altura (cm),
  • toda expressão em \,\cdot dá área em \text{cm}^2.
Substituindo \,h=30 e impondo que a área total é \,1800, obtemos a equação que a base deve satisfazer.

Passo 3

Substituo na fórmula:
2\bigl(xy + 30(x+y)\bigr)=1800.
Divido ambos os lados por 2 para simplificar:
xy + 30x + 30y = 900.
Esta é a equação que relaciona x e y. Uma técnica muito útil aqui é completar a fatoração para obter um produto mais simples: somo 900 aos dois lados para poder escrever o lado esquerdo como produto:
xy + 30x + 30y + 900 = 900 + 900.
Agora o lado esquerdo é fatorável como
(x+30)(y+30) = 1800.
Isto é muito prático: em vez de buscar x,y diretamente, podemos analisar pares (x+30,\;y+30) cujo produto é 1800.

Passo 4

Interpretação da fatoração e busca de soluções práticas. A igualdade (x+30)(y+30)=1800 diz que x+30 e y+30 são fatores positivos de 1800. Há muitas possibilidades reais; portanto há infinitas soluções em números reais positivas. Se quisermos soluções inteiras (práticas para uma caixa feita com medidas inteiras), buscamos pares de inteiros positivos cujo produto é 1800.
Fatoração prima de 1800 (apenas para ver as opções):
1800=2^3\cdot 3^2\cdot 5^2.
Um par de fatores conveniente e simétrico é 45 e 40, pois 45\cdot 40=1800. Assim podemos escolher
x+30 = 45,\qquad y+30 = 40.
Resolvendo,
x = 45-30 = 15\quad\text{e}\quad y = 40-30 = 10.
Isso nos dá uma base 15\\ \text{cm}\times 10\\ \text{cm} com altura 30\\ \text{cm}. Vou verificar rapidamente na fórmula da área para confirmar:
\text{Área total} = 2xy + 2h(x+y) = 2(15\cdot 10) + 2\cdot 30(15+10) = 300 + 60\cdot 25 = 300 + 1500 = 1800,Á
confere com o enunciado.
Observação pedagógica: existem outras soluções inteiras (por exemplo escolher outro par de divisores de 1800), e existe também a solução em que a base é quadrada ( x=y ) que dá x=-30+30\sqrt{2}\approx 12{,}426\\ \text{cm}. Mas a solução (15,10,30) é bonita porque dá medidas inteiras e práticas.

Passo 5

Agora escolhemos dimensões ideais para a folha de papelão, supondo o procedimento clássico: corta-se nas quatro pontas retângulos (aqui, para obter altura h ao dobrar, os retângulos terão dimensão h na direção do recorte) e dobra-se as abas para formar as faces laterais. Para esse método (o corte nos cantos gerando abas que se dobram), a folha retangular necessária tem comprimento e largura dados por:
\text{comprimento da folha} = x + 2h,\qquad \text{largura da folha} = y + 2h.
Explicando por que: pense na folha plana — a parte central será a base x\times y; de cada lado da base deve haver uma aba de altura h para dobrar e formar as faces laterais, portanto soma-se 2h a cada dimensão da base.
Substituindo x=15, y=10 e h=30:
x+2h = 15 + 2\cdot 30 = 15 + 60 = 75,
y+2h = 10 + 2\cdot 30 = 10 + 60 = 70.
Portanto a folha ideal mede \,75\\ \text{cm}\times 70\\ \text{cm}. (Isto corresponde a cortar quatro retângulos de 30\times 15 e 30\times 10 nas pontas conforme o modo de montagem por dobramento.)

Resposta

Dimensões da caixa: \,15\\ \text{cm}\times 10\\ \text{cm}\times 30\\ \text{cm}
Dimensões ideais da folha: \,75\\ \text{cm}\times 70\\ \text{cm}

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