Determine o domínio das funções:
y=\frac{x}{1+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}
y=\frac{x}{1+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está bem definida. Informação relevante: a única possível origem de problema é o denominador
— se ele for zero, a função não está definida.
Passo 2
Para que a função esteja definida precisamos que o denominador seja diferente de zero. Portanto devemos impor a condição
Nossa tarefa é achar todos os
reais que violam essa condição (ou seja, onde o denominador é zero) e então excluir esses pontos do domínio.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão trigonométrica do denominador usando a fórmula da soma de ângulos:
Tomando
e
, temos
e
. Assim
Substituindo no denominador obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a igualdade que torna o denominador zero:
Vamos achar as soluções de
. Sabemos que a função
atinge o valor
no ângulo principal
, e que
é periódica de período
. Portanto todas as soluções são obtidas somando múltiplos inteiros de
:
Esses são exatamente os pontos onde o denominador é zero e, então, onde a função não está definida.
Passo 5
Concluímos que o domínio da função é o conjunto dos números reais com exclusão dos pontos
para todo inteiro
. Em notação de conjuntos: