Determine o domínio das funções:
y=\frac{x}{1+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x}{1+\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}
e pede o domínio, ou seja, todos os valores de x para os quais a função está bem definida. Informação relevante: a única possível origem de problema é o denominador 1+\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right) — se ele for zero, a função não está definida.

Passo 2

Para que a função esteja definida precisamos que o denominador seja diferente de zero. Portanto devemos impor a condição
1+\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\neq 0.
Nossa tarefa é achar todos os x reais que violam essa condição (ou seja, onde o denominador é zero) e então excluir esses pontos do domínio.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão trigonométrica do denominador usando a fórmula da soma de ângulos:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Tomando a=x e b=\frac{\pi}{2}, temos \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Assim
\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x.
Substituindo no denominador obtemos
1+\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=1+(-\sin x)=1-\sin x.

Passo 4

Agora resolvemos a igualdade que torna o denominador zero:
1-\sin x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x=1.
Vamos achar as soluções de \sin x=1. Sabemos que a função \sin x atinge o valor 1 no ângulo principal x=\frac{\pi}{2}, e que \sin x é periódica de período 2\pi. Portanto todas as soluções são obtidas somando múltiplos inteiros de 2\pi:
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses são exatamente os pontos onde o denominador é zero e, então, onde a função não está definida.

Passo 5

Concluímos que o domínio da função é o conjunto dos números reais com exclusão dos pontos x=\frac{\pi}{2}+2k\pi para todo inteiro k. Em notação de conjuntos:
\mathop{\mathrm{Dom}}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}

Exercícios relacionados