1a Questão Defina o que são números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina os seguintes conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Informações dadas: apenas a lista dos seis tipos de números que preciso definir. Não há outros dados numéricos ou figura.

Passo 2

Definição e intuição sobre números naturais.
  • Vamos chamar de \mathbb{N} o conjunto dos números naturais. Em provas há duas convenções: alguns autores usam \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} e outros usam \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. Vou explicar a ideia que vale para ambas: são os números que usamos para contar objetos (1, 2, 3, …) e, opcionalmente, o zero.
  • Propriedades importantes que você precisa lembrar: fechamento em adição e multiplicação — isto é, se a,b\in\mathbb{N} então a+b\in\mathbb{N} e a\cdot b\in\mathbb{N}. Não são fechados em subtração (por exemplo 2-3 não está em \mathbb{N}).

Passo 3

Definição e intuição sobre números inteiros.
  • Denotamos por \mathbb{Z} o conjunto dos inteiros: \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}. Aqui já aparecem os negativos, o zero e os naturais.
  • Propriedades úteis: \mathbb{Z} é fechado em adição, subtração e multiplicação. Não é fechado em divisão: 1\div2 não pertence a \mathbb{Z}.

Passo 4

Definição e intuição sobre números racionais.
  • O conjunto dos racionais é \mathbb{Q}. Por definição,
\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\;\middle|\; p\in\mathbb{Z},\; q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\},
ou seja, todo número que pode ser escrito como fração de dois inteiros (denominador não nulo).
  • Caracterização decimal prática: um número é racional se, e só se, sua representação decimal é finita (termina) ou periódica (repete um bloco). Exemplos: \tfrac{1}{2}=0,5, \tfrac{1}{3}=0,\overline{3} (decimal periódico).
  • Propriedades: \mathbb{Q} é fechado em adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero). Também é denso em \mathbb{R}: entre dois reais sempre existe um racional (por exemplo usar médias).

Passo 5

Definição e intuição sobre números irracionais.
  • Um número é irracional quando não pode ser escrito como fração de inteiros, ou seja, não pertence a \mathbb{Q}. Denotamos o conjunto dos irracionais por \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
  • Caracterização decimal prática: números irracionais têm representação decimal não-terminante e não-periódica (não repetem um bloco). Exemplos clássicos: \sqrt{2}, \pi, e.
  • Mini-prova (clássica) de que \sqrt{2} é irracional — porque esse é um argumento que costuma cair em provas e é bom saber: suponha por contradição que \sqrt{2}=\tfrac{p}{q} com p,q inteiros sem fator comum. Então 2q^2=p^2. Daí p^2 é par, então p é par; escreva p=2k. Substituindo, 2q^2=(2k)^2=4k^2 q^2=2k^2, logo q^2 é par, então q é par. Assim p e q têm fator 2 comum, contradição com a redução inicial. Logo \sqrt{2} não é racional.

Passo 6

Definição e intuição sobre números reais.
  • O conjunto dos reais é \mathbb{R}. Ele contém todos os racionais e todos os irracionais:
\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}).
  • Interpretação geométrica: cada ponto da reta numérica corresponde a um número real; por isso dizemos que os reais “preenchem” a reta.
  • Propriedade fundamental que diferencia \mathbb{R} de \mathbb{Q}: completude (ou propriedade do supremo). Intuitivamente, não existem “buracos” na reta real — todo conjunto limitado superiormente tem um menor limite superior (supremo) que é real. Isso é usado em muitos teoremas (por exemplo para garantir existência de raízes etc.). Para provas de prova rápida: pense em \pi como um número real que não está em \mathbb{Q}.

Passo 7

Definição e intuição sobre números complexos.
  • O conjunto dos complexos é \mathbb{C}. Cada número complexo tem a forma
z=a+bi
com a,b\in\mathbb{R} e i uma unidade imaginária tal que i^2=-1. Aqui a é a parte real de z e b é a parte imaginária.
  • Operações básicas: soma componente a componente, multiplicação distribuída com i^2=-1. Exemplo: (2+3i)+(1-4i)=3-i. Multiplicação: (1+2i)(3+i)=3+i+6i+2i^2=3+7i-2=1+7i.
  • Representação geométrica: cada z=a+bi é um ponto (a,b) no plano complexo (plano de Argand). Módulo: |z|=\sqrt{a^2+b^2}; conjugado: \overline{z}=a-bi.
  • Observação importante para provas: \mathbb{R} é subconjunto de \mathbb{C} (basta tomar b=0). Muitos problemas pedem separar parte real e imaginária ou usar conjugado para simplificar frações complexas.

Passo 8

Relações entre os conjuntos e dicas rápidas de identificação na prova.
  • Inclusões padrão (úteis para lembrar):
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.
  • Como identificar rápido um número em prova:
    • Se for contado (1,2,3,…) é natural.
    • Se tiver sinal negativo inteiro é inteiro.
    • Se expressável como fração de inteiros é racional; decimal finito ou periódico → racional.
    • Se decimal não termina nem repete → irracional.
    • Se envolver i ou raiz quadrada de número negativo (no conjunto dos reais) → complexo (não real).
  • Lembre-se: \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q} são conjuntos contáveis; \mathbb{R} é não contável (tem “muito mais” elementos) — isso aparece em argumentos do tipo “há mais irracionais do que racionais”.

Passo 9

Resumo para decorar e usar na prova (forma prática).
  • Decore as definições curtas e os testes práticos (decimal periódico/terminante → racional; não-periódico → irracional; presença de i → complexo).
  • Tenha em mente as operações fechadas de cada conjunto (isso ajuda a saber se um resultado de operação pertence ou não ao mesmo conjunto).
  • Se pedirem prova de irracionalidade, pratique a prova de \sqrt{2} e o método por contradição (assumir fração reduzida e chegar a contradição).

Resposta

Números naturais: \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} ou \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}, usados para contagem.
Números inteiros: \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}, incluem negativos, zero e naturais.
Números racionais: \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},\;q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}, frações de inteiros; decimais finitos ou periódicos.
Números irracionais: números em \mathbb{R} que não pertencem a \mathbb{Q}; decimais não-terminantes e não-periódicos (ex.: \sqrt{2},\pi,e).
Números reais: \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}), correspondem à reta numérica e têm a propriedade de completude (sem “buracos”).
Números complexos: \mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R},\;i^2=-1\}, com parte real a e parte imaginária b; \mathbb{R}\subset\mathbb{C}.

Exercícios relacionados