Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para resolver em
(assumimos
).
Informações relevantes dadas: a expressão envolve apenas a função seno e potências de seno. A incógnita é .
O que devo encontrar: todos os valores reais de que satisfazem a equação acima.
Informações relevantes dadas: a expressão envolve apenas a função seno e potências de seno. A incógnita é
O que devo encontrar: todos os valores reais de
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a equação de forma mais simples, fatorando a expressão. Note que podemos tratar
como uma “variável” temporária para fatoração. Escrevendo em forma factorizada:
Aqui usei a propriedade distributiva:
quando
; mais claramente, é o mesmo que colocar
em evidência.
Agora aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim devemos resolver os dois casos:
Agora aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim devemos resolver os dois casos:
Passo 3
Resolvendo o primeiro caso
.
Mini-aula rápida: a função
tem período
(repete seus valores a cada
). No círculo trigonométrico,
nas posições onde a coordenada vertical é zero, ou seja nos ângulos
,
,
, etc. A descrição geral desses ângulos é:
Exemplos concretos: para
temos
; para
temos
; para
temos
. Todos esses satisfazem
.
Passo 4
Resolvendo o segundo caso
, que é equivalente a
.
Mini-aula rápida:
ocorre quando o ângulo aponta diretamente para cima no círculo trigonométrico, isto é em
e, devido à periodicidade
, em todos os ângulos que são esse mais múltiplos inteiros de
. Portanto a solução geral é
Exemplo: para
dá
; para
dá
, etc.
Passo 5
Agora unimos as duas famílias de soluções obtidas (produto nulo dá qualquer uma das soluções). A solução completa da equação é a união dos conjuntos:
Não há outras soluções além dessas.