Resolva as equações abaixo em x :
\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)=0
e pede para resolver em x (assumimos x\in\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas: a expressão envolve apenas a função seno e potências de seno. A incógnita é x.
O que devo encontrar: todos os valores reais de x que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a equação de forma mais simples, fatorando a expressão. Note que podemos tratar \operatorname{sen}(x) como uma “variável” temporária para fatoração. Escrevendo em forma factorizada:
\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)=\operatorname{sen}(x)\bigl(1-\operatorname{sen}(x)\bigr).
Aqui usei a propriedade distributiva: a-b^2 = a(1-b) quando a=b; mais claramente, é o mesmo que colocar \operatorname{sen}(x) em evidência.
Agora aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim devemos resolver os dois casos:
\operatorname{sen}(x)=0 \qquad\text{ou}\qquad 1-\operatorname{sen}(x)=0.

Passo 3

Resolvendo o primeiro caso \operatorname{sen}(x)=0.
Mini-aula rápida: a função \operatorname{sen}(x) tem período 2\pi (repete seus valores a cada 2\pi). No círculo trigonométrico, \operatorname{sen}(x)=0 nas posições onde a coordenada vertical é zero, ou seja nos ângulos 0, \pi, 2\pi, etc. A descrição geral desses ângulos é:
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Exemplos concretos: para k=0 temos x=0; para k=1 temos x=\pi; para k=-1 temos x=-\pi. Todos esses satisfazem \operatorname{sen}(x)=0.

Passo 4

Resolvendo o segundo caso 1-\operatorname{sen}(x)=0, que é equivalente a \operatorname{sen}(x)=1.
Mini-aula rápida: \operatorname{sen}(x)=1 ocorre quando o ângulo aponta diretamente para cima no círculo trigonométrico, isto é em x=\frac{\pi}{2} e, devido à periodicidade 2\pi, em todos os ângulos que são esse mais múltiplos inteiros de 2\pi. Portanto a solução geral é
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Exemplo: para k=0 x=\frac{\pi}{2}; para k=1 x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2}, etc.

Passo 5

Agora unimos as duas famílias de soluções obtidas (produto nulo dá qualquer uma das soluções). A solução completa da equação é a união dos conjuntos:
\{x\in\mathbb{R}\mid x=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\} \quad\cup\quad \Bigl\{x\in\mathbb{R}\mid x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.
Não há outras soluções além dessas.

Resposta

x=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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