Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
- Determinar o domínio de
(os valores de para os quais a expressão faz sentido). - Determinar a imagem (conjunto de valores que
pode assumir quando percorre o domínio).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve raízes quadradas
e . - Uma raiz quadrada real exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
- A expressão está numa fração; o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Condição vinda do numerador
.
Explicação didática: para
existir como número real, o radicando deve satisfazer
. Isso é porque a raiz quadrada principal está definida apenas para números reais não negativos.
Portanto temos a primeira desigualdade
Passo 3
Condição vinda do denominador
.
Explicação didática: primeiro, para
ser real precisamos de
, isto é
. Segundo, como esse termo está no denominador, não podemos ter
porque dividir por zero é proibido. Assim precisamos de
, ou seja
.
Portanto a condição do denominador é
Passo 4
Intersecção das condições para obter o domínio.
Juntando as duas condições obtidas:
Logo o domínio é o intervalo
Verificações nas extremidades (úteis para entender comportamento):
- Em
: e , então está bem definido. - Ao aproximar
de pela esquerda, o numerador tende a e o denominador tende a , logo . Isso indica que a função cresce sem limite ao ficar perto de .
Passo 5
Sinal da função (ajuda a delimitar a imagem).
Para todo
no domínio temos
e
. Portanto a razão é sempre não negativa:
Assim a imagem está contida em
.
Passo 6
Mostrar que todo valor
é atingido por algum
(provar que a imagem é exatamente
).
Tomemos um
. Queremos ver se existe
no domínio tal que
Observação importante (didática): ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem perder equivalência. Ao elevar ao quadrado obtemos
Passo 7
Resolver a equação em
obtida ao quadrar e verificar que a solução pertence ao domínio.
Partindo de
, fazemos manipulação algébrica passo a passo:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Logo isolamos
:
Agora verificar que, para qualquer
, este
satisfaz
:
- Calcular
:
portanto
.
- Calcular
:
portanto
.
Além disso, para
a fórmula dá
(recuperando
), e para
tem-se
(recuperando o comportamento assintótico). Assim, para todo
existe
com
.
Passo 8
Conclusão sobre a imagem.
Como toda
é atingida por algum
do domínio e os valores negativos não ocorrem, a imagem (conjunto-valor) de
é exatamente
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: