Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
g(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{3-x}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
g(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{3-x}}
  • Determinar o domínio de g (os valores de x para os quais a expressão faz sentido).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores que g(x) pode assumir quando x percorre o domínio).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve raízes quadradas \sqrt{x-2} e \sqrt{3-x}.
  • Uma raiz quadrada real exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
  • A expressão está numa fração; o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Condição vinda do numerador \sqrt{x-2}.
Explicação didática: para \sqrt{x-2} existir como número real, o radicando deve satisfazer x-2\ge 0. Isso é porque a raiz quadrada principal está definida apenas para números reais não negativos.
Portanto temos a primeira desigualdade
x-2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 2.

Passo 3

Condição vinda do denominador \sqrt{3-x}.
Explicação didática: primeiro, para \sqrt{3-x} ser real precisamos de 3-x\ge 0, isto é x\le 3. Segundo, como esse termo está no denominador, não podemos ter \sqrt{3-x}=0 porque dividir por zero é proibido. Assim precisamos de 3-x>0, ou seja x<3.
Portanto a condição do denominador é
3-x>0 \quad\Rightarrow\quad x<3.

Passo 4

Intersecção das condições para obter o domínio.
Juntando as duas condições obtidas:
x\ge 2 \quad\text{e}\quad x<3.
Logo o domínio é o intervalo
[2,3).
Verificações nas extremidades (úteis para entender comportamento):
  • Em x=2: \sqrt{x-2}=\sqrt{0}=0 e \sqrt{3-x}=\sqrt{1}=1, então g(2)=0 está bem definido.
  • Ao aproximar x de 3 pela esquerda, o numerador tende a \sqrt{1}=1 e o denominador tende a 0^+, logo g(x)\to +\infty. Isso indica que a função cresce sem limite ao ficar perto de 3.

Passo 5

Sinal da função (ajuda a delimitar a imagem).
Para todo x no domínio temos \sqrt{x-2}\ge 0 e \sqrt{3-x}>0. Portanto a razão é sempre não negativa:
g(x)\ge 0 \quad\text{para todo }x\in[2,3).
Assim a imagem está contida em [0,\infty).

Passo 6

Mostrar que todo valor y\ge 0 é atingido por algum x\in[2,3) (provar que a imagem é exatamente [0,\infty)).
Tomemos um y\ge 0. Queremos ver se existe x no domínio tal que
y=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{3-x}}.
Observação importante (didática): ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem perder equivalência. Ao elevar ao quadrado obtemos
y^2=\frac{x-2}{3-x}.

Passo 7

Resolver a equação em x obtida ao quadrar e verificar que a solução pertence ao domínio.
Partindo de y^2=\dfrac{x-2}{3-x}, fazemos manipulação algébrica passo a passo:
y^2(3-x)=x-2.
Expandindo:
3y^2 - y^2 x = x-2.
Agrupando os termos com x:
3y^2 + 2 = x + y^2 x = x(1+y^2).
Logo isolamos x:
x=\frac{3y^2+2}{1+y^2}.
Agora verificar que, para qualquer y\ge 0, este x satisfaz 2\le x<3:
  • Calcular x-2:
x-2=\frac{3y^2+2}{1+y^2}-2=\frac{3y^2+2-2(1+y^2)}{1+y^2}=\frac{y^2}{1+y^2}\ge 0,
portanto x\ge 2.
  • Calcular 3-x:
3-x=3-\frac{3y^2+2}{1+y^2}=\frac{3(1+y^2)-(3y^2+2)}{1+y^2}=\frac{1}{1+y^2}>0,
portanto x<3.
Além disso, para y=0 a fórmula dá x=2 (recuperando g(2)=0), e para y\to+\infty tem-se x\to 3^- (recuperando o comportamento assintótico). Assim, para todo y\ge 0 existe x\in[2,3) com g(x)=y.

Passo 8

Conclusão sobre a imagem.
Como toda y\ge 0 é atingida por algum x do domínio e os valores negativos não ocorrem, a imagem (conjunto-valor) de g é exatamente
[0,\infty).

Resposta

Domínio: [2,3)
Imagem: [0,\infty)

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