Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
g(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-x}}

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por
g(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-x}}.
O que se pede:
  • Determinar o domínio de g (todos os x reais para os quais a expressão faz sentido).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de g(x)).
Informações relevantes fornecidas pela expressão:
  • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-x}. Para que exista (no conjunto dos números reais) o radicando x^{2}-x precisa ser não negativo, e como essa expressão está no denominador, o radicando não pode ser zero. Logo precisamos tratar a condição sobre x^{2}-x.

Passo 2

Encontrar o domínio: exigir que o denominador seja bem definido e não nulo.
Condição da raiz: \;x^{2}-x\ge 0.
Como o termo está no denominador, na realidade precisamos de \;x^{2}-x>0.
Fatorando:
x^{2}-x = x(x-1).
Resolver x(x-1)>0. Analisando o produto:
  • Zeros em x=0 e x=1.
  • Produto positivo quando os fatores têm o mesmo sinal: isso ocorre para x<0 (ambos negativos) ou para x>1 (ambos positivos).
Portanto o domínio é
(-\infty,0)\cup(1,\infty).
Observação: x=0 e x=1 ficam excluídos porque em ambos o radicando é zero (denominador nulo) e a expressão não é válida.

Passo 3

Determinar a imagem: estratégia
  • Introduzir y=g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-x}}.
  • Resolver em termos de x (isolar x como função de y), cuidando dos sinais e dos passos que envolvem elevar ao quadrado (que pode introduzir soluções extraviadas).
Começo escrevendo
y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-x}}.

Passo 4

Elevar ao quadrado (com cuidado):
y^{2}=\frac{x^{2}}{x^{2}-x}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}-x:
y^{2}(x^{2}-x)=x^{2}.
Desenvolvendo:
y^{2}x^{2}-y^{2}x - x^{2}=0.
Agrupando termos em x:
x^{2}(y^{2}-1)-y^{2}x=0.
Colocando em evidência x:
x\bigl(x(y^{2}-1)-y^{2}\bigr)=0.
Dessa equação, uma possibilidade é x=0, mas x=0 não pertence ao domínio (já vimos), então é uma solução extraviada introduzida ao elevar ao quadrado e deve ser descartada. Assim, deve valer
x(y^{2}-1)-y^{2}=0.
Isolando x (desde que y^{2}\neq 1):
x=\frac{y^{2}}{y^{2}-1}.
Portanto, qualquer candidato y à imagem deve produzir um x pela fórmula acima que pertença ao domínio (-\infty,0)\cup(1,\infty) e, além disso, deve respeitar o sinal original da relação y=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-x}}: o denominador \sqrt{x^{2}-x} é sempre positivo, logo \operatorname{sgn}(y)=\operatorname{sgn}(x). Em outras palavras, y e x têm o mesmo sinal.
Também é preciso tratar separadamente o caso y^{2}=1 (isto é, y=\pm1), porque aí a expressão para x acima é inválida.

Passo 5

Analisar os casos possíveis para y.
Caso A: y^{2}>1.
  • Então y^{2}-1>0, portanto
x=\frac{y^{2}}{y^{2}-1}>0.
Além disso, observa-se que
\frac{y^{2}}{y^{2}-1}>1
porque y^{2}>(y^{2}-1). Então para y^{2}>1 obtém-se x>1, que está dentro do domínio. Mas é preciso checar o sinal: x>0 implica que y também deve ser positivo (já que \operatorname{sgn}(y)=\operatorname{sgn}(x)). Portanto, entre os y com y^{2}>1 só os positivos são admissíveis. Conclusão deste caso: todos os y>1 são atingidos; y<-1 não pode, porque aí y e x teriam sinais diferentes.
Caso B: y^{2}<1.
  • Então y^{2}-1<0, logo
x=\frac{y^{2}}{y^{2}-1}<0.
Portanto x<0, que pertence ao domínio. Pela mesma razão do sinal, y deve ser negativo também. Assim, neste caso são admissíveis os y negativos com |y|<1, ou seja y\in(-1,0). Note que y=0 daria x=0 (pela fórmula), mas x=0 não está no domínio, então y=0 não é atingido.
Caso C: y^{2}=1, ou seja y=\pm1.
  • Substituindo diretamente em y=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-x}}:
    • Para y=1: x=\sqrt{x^{2}-x}. Ao elevar ao quadrado obtemos x=0, mas x=0 não está no domínio; portanto y=1 não é atingido.
    • Para y=-1: similarmente leva a x=0 (extraviado). Logo y=-1 também não é atingido.

Passo 6

Análise de limites (verificando extremidades e continuidade):
  • Para x\to1^{+} temos \sqrt{x^{2}-x}\to 0^{+} com x>0, portanto g(x)\to+\infty. Assim valores grandes positivos aparecem e o intervalo (1,\infty) em y é preenchido.
  • Para x\to+\infty, \sqrt{x^{2}-x}\sim x, então g(x)\to 1^{+}. Isso mostra que y=1 é limite superior pelo lado direito, não é atingido, e os valores maiores que 1 são obtidos.
  • Para x\to0^{-}, calcula-se g(x)\to 0^{-}. Assim valores negativos pequenos próximos de 0 (à esquerda) aparecem.
  • Para x\to -\infty, tem-se g(x)\to -1^{+}. Isso mostra que y=-1 é limite, não atingido, e os valores em (-1,0) são preenchidos.
Combinando tudo: a imagem é
(-1,0)\cup(1,\infty).

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos só para conferir:
  • x=2\in(1,\infty): g(2)=\dfrac{2}{\sqrt{4-2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx1,414>1.
  • x=-1\in(-\infty,0): g(-1)=\dfrac{-1}{\sqrt{1+1}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\approx-0,707\in(-1,0).
Esses exemplos confirmam que os dois ramos da imagem estão corretos.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(1,\infty)
Imagem: ( -1,0)\cup(1,\infty)

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