Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Determinar o domínio de
(todos os reais para os quais a expressão faz sentido). - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Informações relevantes fornecidas pela expressão:
- Aparece uma raiz quadrada
. Para que exista (no conjunto dos números reais) o radicando precisa ser não negativo, e como essa expressão está no denominador, o radicando não pode ser zero. Logo precisamos tratar a condição sobre .
Passo 2
Encontrar o domínio: exigir que o denominador seja bem definido e não nulo.
Condição da raiz:
.
Como o termo está no denominador, na realidade precisamos de .
Como o termo está no denominador, na realidade precisamos de
Fatorando:
Resolver
. Analisando o produto:
- Zeros em
e . - Produto positivo quando os fatores têm o mesmo sinal: isso ocorre para
(ambos negativos) ou para (ambos positivos).
Portanto o domínio é
Observação:
e
ficam excluídos porque em ambos o radicando é zero (denominador nulo) e a expressão não é válida.
Passo 3
Determinar a imagem: estratégia
- Introduzir
. - Resolver em termos de
(isolar como função de ), cuidando dos sinais e dos passos que envolvem elevar ao quadrado (que pode introduzir soluções extraviadas).
Começo escrevendo
Passo 4
Elevar ao quadrado (com cuidado):
Multiplicando ambos os lados por
:
Desenvolvendo:
Agrupando termos em
:
Colocando em evidência
:
Dessa equação, uma possibilidade é
, mas
não pertence ao domínio (já vimos), então é uma solução extraviada introduzida ao elevar ao quadrado e deve ser descartada. Assim, deve valer
Isolando
(desde que
):
Portanto, qualquer candidato
à imagem deve produzir um
pela fórmula acima que pertença ao domínio
e, além disso, deve respeitar o sinal original da relação
: o denominador
é sempre positivo, logo
. Em outras palavras,
e
têm o mesmo sinal.
Também é preciso tratar separadamente o caso
(isto é,
), porque aí a expressão para
acima é inválida.
Passo 5
Analisar os casos possíveis para
.
Caso A:
.
- Então
, portanto
Além disso, observa-se que
porque
. Então para
obtém-se
, que está dentro do domínio. Mas é preciso checar o sinal:
implica que
também deve ser positivo (já que
). Portanto, entre os
com
só os positivos são admissíveis. Conclusão deste caso: todos os
são atingidos;
não pode, porque aí
e
teriam sinais diferentes.
Caso B:
.
- Então
, logo
Portanto
, que pertence ao domínio. Pela mesma razão do sinal,
deve ser negativo também. Assim, neste caso são admissíveis os
negativos com
, ou seja
. Note que
daria
(pela fórmula), mas
não está no domínio, então
não é atingido.
Caso C:
, ou seja
.
- Substituindo diretamente em
: - Para
: . Ao elevar ao quadrado obtemos , mas não está no domínio; portanto não é atingido. - Para
: similarmente leva a (extraviado). Logo também não é atingido.
- Para
Passo 6
Análise de limites (verificando extremidades e continuidade):
- Para
temos com , portanto . Assim valores grandes positivos aparecem e o intervalo em é preenchido. - Para
, , então . Isso mostra que é limite superior pelo lado direito, não é atingido, e os valores maiores que são obtidos. - Para
, calcula-se . Assim valores negativos pequenos próximos de (à esquerda) aparecem. - Para
, tem-se . Isso mostra que é limite, não atingido, e os valores em são preenchidos.
Combinando tudo: a imagem é
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos só para conferir:
-
: . -
: .
Esses exemplos confirmam que os dois ramos da imagem estão corretos.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: