Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
h(x)=\frac{2+x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função h:
  • Determinar o domínio de h.
  • Determinar a imagem (conjunto-valor) de h.
A função dada é
h(x)=\frac{2+x}{x^{2}+1}.
Informações relevantes que temos (e que vou usar):
  • O denominador é x^{2}+1.
  • Para o domínio, devo garantir que o denominador não zere.
  • Para a imagem, preciso encontrar todos os valores reais y para os quais existe x\in\mathbb{R} tal que y=h(x).

Passo 2

Determinar o domínio: a regra geral é que uma fração \dfrac{p(x)}{q(x)} está definida sempre que q(x)\neq0. Aqui q(x)=x^{2}+1. Observe que, para todo x\in\mathbb{R},
x^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+1 \ge 1>0.
Portanto x^{2}+1 nunca é zero: o denominador é sempre positivo. Conclusão imediata:
\text{domínio}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).í

Passo 3

Plano para a imagem: considero um valor genérico y e resolvo a equação
y=\frac{x+2}{x^{2}+1}
em x. Se, para um dado y, existir ao menos uma solução real x, então y pertence à imagem de h. Vou rearranjar essa igualdade para formar uma equação polinomial em x e aplicar o critério de existência de raízes reais (discriminante).
Lembrete rápido (fórmula que vou usar): para a equação quadrática a x^{2}+b x+c=0, as raízes reais existem quando o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac
satisfaz \Delta\ge 0.

Passo 4

Transformo y=\dfrac{x+2}{x^{2}+1} numa equação polinomial em x. Multiplicando ambos os lados por x^{2}+1 (que sabemos ser não nulo) obtemos
y(x^{2}+1)=x+2.
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
y x^{2}-x+(y-2)=0.
Isto é uma equação quadrática em x com coeficientes dependentes de y:
a=y,\qquad b=-1,\qquad c=y-2.

Passo 5

Calculo o discriminante dessa quadrática (em função de y):
\Delta(y)=b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot y\cdot (y-2).
Fazendo as contas:
\Delta(y)=1-4y(y-2)=1-4y^{2}+8y=-4y^{2}+8y+1.
Para que exista solução real x precisa valer \Delta(y)\ge 0. Vou resolver a desigualdade
-4y^{2}+8y+1\ge 0.
Multiplicando por -1 (invertendo o sinal da desigualdade):
4y^{2}-8y-1\le 0.
Agora encontro as raízes da equação 4y^{2}-8y-1=0 usando fórmula quadrática:
y=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot 4\cdot(-1)}}{2\cdot 4} =\frac{8\pm\sqrt{64+16}}{8} =\frac{8\pm\sqrt{80}}{8}.
Como \sqrt{80}=4\sqrt{5}, isso dá
y=\frac{8\pm 4\sqrt{5}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{5}}{2}.
A expressão 4y^{2}-8y-1 é um polinômio quadrático com coeficiente positivo (abre para cima), então a condição 4y^{2}-8y-1\le 0 ocorre exatamente para y entre as raízes. Logo
\frac{2-\sqrt{5}}{2}\le y \le \frac{2+\sqrt{5}}{2}.
Isto significa que a imagem de h está contida nesse intervalo. Além disso, como a condição foi \Delta(y)\ge0 (incluindo igualdade), os extremos podem ser atingidos — preciso verificar que realmente existem x que produzem esses valores.

Passo 6

Verifico que os extremos são realmente atingidos. A igualdade \Delta(y)=0 corresponde a ter uma única solução real x (raiz dupla) para a quadrática; portanto o valor y com \Delta=0 pertence à imagem. Alternativamente, encontro diretamente os pontos críticos de h e avalio h neles para ver máximos e mínimos (isso também é didático).
Calculo a derivada (usando quociente) para encontrar extremos:
h'(x)=\frac{(1)(x^{2}+1)-(x+2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}-4x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{-x^{2}-4x+1}{(x^{2}+1)^{2}}.
Zerando o numerador para achar pontos críticos:
-x^{2}-4x+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+4x-1=0.
As raízes dessa quadrática são
x=-2\pm\sqrt{5}.
Agora avalio h nesses pontos.
Para x_{1}=-2+\sqrt{5}:
h(x_{1})=\frac{x_{1}+2}{x_{1}^{2}+1} =\frac{\sqrt{5}}{( -2+\sqrt{5})^{2}+1} =\frac{\sqrt{5}}{10-4\sqrt{5}}
multiplicando numerador e denominador por 10+4\sqrt{5} obtemos
h(x_{1})=\frac{\sqrt{5}(10+4\sqrt{5})}{100-80} =\frac{10\sqrt{5}+20}{20} =1+\frac{\sqrt{5}}{2} =\frac{2+\sqrt{5}}{2}.
Para x_{2}=-2-\sqrt{5}:
h(x_{2})=\frac{x_{2}+2}{x_{2}^{2}+1} =\frac{-\sqrt{5}}{10+4\sqrt{5}}
procedendo de modo análogo encontramos
h(x_{2})=1-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{2-\sqrt{5}}{2}.
Portanto os extremos obtidos coincidem exatamente com as raízes da inequação do discriminante, e são realmente atingidos por valores reais de x. Concluímos que a imagem é o intervalo fechado entre esses extremos.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \displaystyle \left[\frac{2-\sqrt{5}}{2},\frac{2+\sqrt{5}}{2}\right]

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