Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto-valor) de
.
A função dada é
Informações relevantes que temos (e que vou usar):
- O denominador é
. - Para o domínio, devo garantir que o denominador não zere.
- Para a imagem, preciso encontrar todos os valores reais
para os quais existe tal que .
Passo 2
Determinar o domínio: a regra geral é que uma fração
está definida sempre que
. Aqui
. Observe que, para todo
,
Portanto
nunca é zero: o denominador é sempre positivo. Conclusão imediata:
Passo 3
Plano para a imagem: considero um valor genérico
e resolvo a equação
em
. Se, para um dado
, existir ao menos uma solução real
, então
pertence à imagem de
. Vou rearranjar essa igualdade para formar uma equação polinomial em
e aplicar o critério de existência de raízes reais (discriminante).
Lembrete rápido (fórmula que vou usar): para a equação quadrática
, as raízes reais existem quando o discriminante
satisfaz
.
Passo 4
Transformo
numa equação polinomial em
. Multiplicando ambos os lados por
(que sabemos ser não nulo) obtemos
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
Isto é uma equação quadrática em
com coeficientes dependentes de
:
Passo 5
Calculo o discriminante dessa quadrática (em função de
):
Fazendo as contas:
Para que exista solução real
precisa valer
. Vou resolver a desigualdade
Multiplicando por
(invertendo o sinal da desigualdade):
Agora encontro as raízes da equação
usando fórmula quadrática:
Como
, isso dá
A expressão
é um polinômio quadrático com coeficiente positivo (abre para cima), então a condição
ocorre exatamente para
entre as raízes. Logo
Isto significa que a imagem de
está contida nesse intervalo. Além disso, como a condição foi
(incluindo igualdade), os extremos podem ser atingidos — preciso verificar que realmente existem
que produzem esses valores.
Passo 6
Verifico que os extremos são realmente atingidos. A igualdade
corresponde a ter uma única solução real
(raiz dupla) para a quadrática; portanto o valor
com
pertence à imagem. Alternativamente, encontro diretamente os pontos críticos de
e avalio
neles para ver máximos e mínimos (isso também é didático).
Calculo a derivada (usando quociente) para encontrar extremos:
Zerando o numerador para achar pontos críticos:
As raízes dessa quadrática são
Agora avalio
nesses pontos.
Para
:
multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Para
:
procedendo de modo análogo encontramos
Portanto os extremos obtidos coincidem exatamente com as raízes da inequação do discriminante, e são realmente atingidos por valores reais de
. Concluímos que a imagem é o intervalo fechado entre esses extremos.
Resposta
Domínio:
Imagem: