Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=|2 x+1|+2

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=|2x+1|+2.
O conteúdo principal é a função valor absoluto, que pode ser escrita de forma piecewise como duas retas. Usaremos a definição de |u| e analisaremos pontos de quebra.

Passo 2

Para qualquer x\in\mathbb{R} o valor 2x+1 está bem definido e o valor absoluto não impõe restrição adicional.
Logo, o domínio de f é \mathbb{R}.

Passo 3

Escrevemos |2x+1| em duas partes, conforme o sinal de 2x+1:
  1. Se 2x+1<0, isto é, x<-\tfrac12, então |2x+1|=-(2x+1) e
f(x)=-(2x+1)+2=-2x+1\quad(x<-\tfrac12).
  1. Se 2x+1\ge0, isto é, x\ge-\tfrac12, então |2x+1|=2x+1 e
f(x)=(2x+1)+2=2x+3\quad(x\ge-\tfrac12).

Passo 4

O ponto de quebra x=-\tfrac12 é o vértice do “V”. Calculamos
f\bigl(-\tfrac12\bigr)=2.
Cada ramo é uma reta com coeficiente angular -2 (à esquerda) e +2 (à direita), que crescem em valor absoluto conforme \lvert x\rvert\to\infty. Portanto o menor valor de f é 2, alcançado em x=-\tfrac12, e não há teto superior. A imagem de f é
[2,\infty).

Passo 5

Para esboçar o gráfico, marcamos o vértice em \bigl(-\tfrac12,2\bigr).
  • Para x<-\tfrac12, a curva é a reta f(x)=-2x+1.
  • Para x\ge-\tfrac12, a curva é a reta f(x)=2x+3.
    Isso forma um “V” com vértice em \bigl(-\tfrac12,2\bigr), ramo esquerdo inclinando para cima à medida que x diminui e ramo direito inclinando para cima à medida que x aumenta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [2,\infty)
Gráfico: V com vértice em \bigl(-\tfrac12,2\bigr), reta f(x)=-2x+1 à esquerda e reta f(x)=2x+3 à direita.

Exercícios relacionados