Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
Passo 1
O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
O conteúdo principal é a função valor absoluto, que pode ser escrita de forma piecewise como duas retas. Usaremos a definição de
e analisaremos pontos de quebra.
Passo 2
Para qualquer
o valor
está bem definido e o valor absoluto não impõe restrição adicional.
Logo, o domínio de é
Logo, o domínio de
Passo 3
Escrevemos
em duas partes, conforme o sinal de
:
- Se
, isto é, , então e
- Se
, isto é, , então e
Passo 4
O ponto de quebra
é o vértice do “V”. Calculamos
Cada ramo é uma reta com coeficiente angular
(à esquerda) e
(à direita), que crescem em valor absoluto conforme
. Portanto o menor valor de
é
, alcançado em
, e não há teto superior. A imagem de
é
Passo 5
Para esboçar o gráfico, marcamos o vértice em
.
- Para
, a curva é a reta . - Para
, a curva é a reta .
Isso forma um “V” com vértice em, ramo esquerdo inclinando para cima à medida que diminui e ramo direito inclinando para cima à medida que aumenta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: V com vértice em , reta
à esquerda e reta
à direita.
Imagem:
Gráfico: V com vértice em