Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=\left|x^{2}-9\right|.

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e um esboço do gráfico da função
f(x)=\lvert x^{2}-9\rvert.
O tema é análise de função com valor absoluto; usaremos que polinômios estão definidos em todo \mathbb{R} e a definição de valor absoluto para obter domínio, imagem e formato do gráfico.

Passo 2

Para o domínio, note que x^{2}-9 é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R} e tomar o valor absoluto não impõe restrição adicional.
Logo,
Domínio =\mathbb{R}.

Passo 3

Para a imagem, observamos que \lvert x^{2}-9\rvert\ge 0 sempre. O valor mínimo ocorre quando x^{2}-9=0, isto é em x=\pm 3, dando \lvert0\rvert=0. À medida que \lvert x\rvert\to\infty, x^{2}-9\to\infty e portanto \lvert x^{2}-9\rvert\to\infty.
Logo,
Imagem =[0,\infty).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, fazemos uma análise em duas regiões:
Para \lvert x\rvert\ge 3:
x^{2}-9\ge0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=x^{2}-9,
que é uma parábola voltada para cima, com vértice em (0,-9), mas sobreposta ao valor absoluto (parte negativa “refletida”).
Para \lvert x\rvert\le 3:
x^{2}-9\le0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=-(x^{2}-9)=9-x^{2},
que é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,9).
Em x=\pm 3 ambas as expressões valem zero, de modo que o gráfico passa por (-3,0) e (3,0), conectando suavemente as duas parábolas.
Assim o gráfico tem formato aproximado de um “W” suave:
  • pico máximo em (0,9),
  • “cantos” em (-3,0) e (3,0),
  • ramos exteriores crescendo quadraticamente para +\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)

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