Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=3-|x+4|.

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=3 - \lvert x+4\rvert.
O conteúdo é valor absoluto e função afim por partes. Vamos usar a definição
\lvert u\rvert=\begin{cases} u,&u\ge0,\\\\ -\,u,&u<0 \end{cases}
para reescrever f em forma de retas e daí extrair domínio, imagem e gráfico.

Passo 2

Domínio de uma função com valor absoluto é todos os x em que a expressão interna está definida. Aqui x+4 está definido para todo x\in\mathbb R.
Portanto \text{Domínio}=\mathbb R.í

Passo 3

Reescrevendo f(x)=3-\lvert x+4\rvert em duas partes, conforme o sinal de x+4:
x+4\ge0\;\Leftrightarrow\;x\ge-4 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=3-(x+4)=-x-1.
x+4<0\;\Leftrightarrow\;x< -4 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=3-[-(x+4)]=x+7.
Logo
f(x)= \begin{cases} x+7, & x< -4,\\\\ -\,x -1, & x\ge -4. \end{cases}

Passo 4

Identificamos o vértice onde as duas fórmulas se encontram, em x=-4:
f(-4)=3-\lvert -4+4\rvert=3.
Para x< -4, f(x)=x+7 é reta de coeficiente angular 1 passando por (-4,3).
Para x> -4, f(x)=-x-1 é reta de coeficiente angular -1 também passando por (-4,3).
Isso gera um “V” invertido (∧) cujo vértice é (-4,3).
Esboço (descrição):
– Vértice: (-4,3).
– Ramo esquerdo: reta subindo com inclinação 1 para x< -4.
– Ramo direito: reta decaindo com inclinação -1 para x> -4.

Passo 5

Para a imagem, note que o valor máximo ocorre no vértice e vale 3. Ao afastar-se de -4, \lvert x+4\rvert\to\infty implica f(x)\to -\infty.
Logo
\text{Imagem} = (-\infty,\,3].

Resposta

Domínio: \mathbb R
Imagem: (-\infty,3]
Gráfico: “V” invertido com vértice em (-4,3), ramo esquerdo de inclinação 1 e ramo direito de inclinação -1.

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