Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=|6-x|-1 |

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=\bigl|\,|6 - x| - 1\bigr|.
O conteúdo principal é o tratamento de valor absoluto em duas etapas: primeiro em |6-x|, depois subtraindo 1 e, por fim, aplicando o valor absoluto externo. Vamos usar análise por intervalos onde a expressão interna muda de sinal.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Como toda expressão envolve apenas soma, subtração e valor absoluto, não há restrição de domínio.
Resposta: \text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Analisar o sinal da expressão interna
g(x)=|6-x|-1
para sabermos quando g(x)\ge0 (caso em que f(x)=g(x)) e quando g(x)<0 (caso em que f(x)=-g(x)).
Resolvemos
|6-x|\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad 6 - x \ge1 \;\text{ou}\; 6 - x \le -1
isto é
x\le5 \quad\text{ou}\quad x\ge7.
E
|6-x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 5 < x < 7.

Passo 4

Montar a expressão de f(x)\) em cada intervalo, usando que \[|6-x|=\begin{cases} 6 - x, & x\le6,\\\ x - 6, & x\ge6. \end{cases}
  1. Para x\le5\], tem-se \(|6-x|=6-x,
    g(x)=6-x-1=5-x\ge0,
    logo
f(x)=g(x)=5-x.
  1. Para 5< x<6, ainda |6-x|=6-x, mas agora g(x)=5-x<0, então
f(x)=-g(x)=x-5.
  1. Para 6\le x<7, passa a valer |6-x|=x-6, e g(x)=x-6-1=x-7<0, logo
f(x)=-g(x)=7-x.
  1. Para x\ge7, tem |6-x|=x-6 e g(x)=x-7\ge0, daí
f(x)=g(x)=x-7.
Com isso, a forma completa é
f(x)= \begin{cases} 5 - x, & x\le5,\\\ x - 5, & 5< x<6,\\\\ 7 - x, & 6\le x<7,\\\ x - 7, & x\ge7. \end{cases}

Passo 5

Determinar a imagem de f.
  • Nos pontos x=5 e x=7 temos f(5)=0 e f(7)=0.
  • Em x=6, a fórmula do trecho médio dá f(6)=6-5=1.
  • Para x\to\pm\infty, tanto 5-x quanto x-7 vão para +\infty.
    Assim o valor mínimo de f é 0, e não há teto superior.
    Resposta:
\text{Imagem} = [0,\infty).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x\le5, reta decrescente de declive -1 passando por (5,0).
  • De 5 a 6, reta crescente de declive +1 ligando (5,0) a (6,1).
  • De 6 a 7, reta decrescente de declive -1 ligando (6,1) a (7,0).
  • Para x\ge7, reta crescente de declive +1 a partir de (7,0).
Em coordenadas, o “W” simétrico em torno de x=6 com vales em (5,0) e (7,0) e pico em (6,1).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: “W” formado pelas retas
y=5-x\;(x\le5),\quad y=x-5\;(5\le x\le6),\quad y=7-x\;(6\le x\le7),\quad y=x-7\;(x\ge7).

Exercícios relacionados