Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de: f(x)=|6-x|-1 |
Passo 1
O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=\bigl|\,|6 - x| - 1\bigr|.
O conteúdo principal é o tratamento de valor absoluto em duas etapas: primeiro em |6-x|, depois subtraindo 1 e, por fim, aplicando o valor absoluto externo. Vamos usar análise por intervalos onde a expressão interna muda de sinal.
Passo 2
Determinar o domínio de f.
Como toda expressão envolve apenas soma, subtração e valor absoluto, não há restrição de domínio.
Resposta: \text{Domínio} = \mathbb{R}.í
Passo 3
Analisar o sinal da expressão interna
g(x)=|6-x|-1
para sabermos quando g(x)\ge0 (caso em que f(x)=g(x)) e quando g(x)<0 (caso em que f(x)=-g(x)).
Resolvemos
|6-x|\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad 6 - x \ge1 \;\text{ou}\; 6 - x \le -1
isto é
x\le5 \quad\text{ou}\quad x\ge7.
E
|6-x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 5 < x < 7.
Passo 4
Montar a expressão de f(x)\) em cada intervalo, usando que
\[|6-x|=\begin{cases} 6 - x, & x\le6,\\\ x - 6, & x\ge6. \end{cases}
Para x\le5\], tem-se
\(|6-x|=6-x, g(x)=6-x-1=5-x\ge0,
logo
f(x)=g(x)=5-x.
Para 5< x<6, ainda |6-x|=6-x, mas agora g(x)=5-x<0, então
f(x)=-g(x)=x-5.
Para 6\le x<7, passa a valer |6-x|=x-6, e g(x)=x-6-1=x-7<0, logo