Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=7^{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
f(x)=7^{\,x-2}.
O conteúdo aqui é função exponencial de base maior que 1, e vamos usar propriedades de domínio e imagem desse tipo de função, além de entender deslocamentos de gráfico.

Passo 2

Para uma função exponencial da forma 7^u, o expoente u pode ser qualquer número real. Aqui u=x-2, que está definido para todo x\in\mathbb{R}.
Logo, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Sabemos que 7^{\,u} é sempre positivo e nunca atinge zero nem valores negativos, independentemente de u. Portanto,
a imagem de f é
(0,\infty).

Passo 4

O gráfico de f(x)=7^{\,x-2} é obtido a partir do gráfico de y=7^x deslocando-o 2 unidades para a direita.
Principais características:
  • Assíntota horizontal em y=0.
  • Passa pelo ponto (2,1), pois f(2)=7^{2-2}=1.
  • É crescente (base 7>1), tende a 0 quando x\to-\infty e cresce sem limite quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)
Gráfico: curva exponencial crescente com assíntota y=0, deslocada 2 unidades à direita, passando por (2,1).

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