Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
Passo 1
O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
Aqui vamos usar a definição de valor absoluto e um estudo de sinais para reescrever
em partes, achar seu comportamento em cada intervalo e, a partir disso, obter domínio, imagem e gráfico.
Passo 2
O valor absoluto está definido para todo
.
Portanto o domínio de é
Portanto o domínio de
Passo 3
Identificamos os pontos onde cada módulo muda de expressão, isto é, onde os argumentos são zero:
Esses pontos particionam a reta em três intervalos:
,
e
.
Passo 4
Em cada intervalo reescrevemos
Verificamos que
enquanto para
.
Passo 5
O menor valor de
é
, atingido em todo intervalo
. Como nos extremos
, a imagem de
é
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Para
, : reta decrescente que tende a quando e passa por . - Para
, : segmento horizontal de até . - Para
, : reta crescente que parte de e vai a quando .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: ramo decrescente de inclinação até
, segmento horizontal em
para
, e ramo crescente de inclinação
a partir de
.
Imagem:
Gráfico: ramo decrescente de inclinação