Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=|x+1|+|x-6|

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=|x+1|+|x-6|.
Aqui vamos usar a definição de valor absoluto e um estudo de sinais para reescrever f em partes, achar seu comportamento em cada intervalo e, a partir disso, obter domínio, imagem e gráfico.

Passo 2

O valor absoluto está definido para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}.

Passo 3

Identificamos os pontos onde cada módulo muda de expressão, isto é, onde os argumentos são zero:
x+1=0\Rightarrow x=-1, \quad x-6=0\Rightarrow x=6.
Esses pontos particionam a reta em três intervalos: x\le-1, -1\le x\le6 e x\ge6.

Passo 4

Em cada intervalo reescrevemos f(x)\) sem módulos: \[f(x)= \begin{cases} -(x+1)\;+\;-(x-6)=-2x+5, & x\le-1,\\\ (x+1)\;+\;-(x-6)=7, & -1\le x\le6,\\\ (x+1)\;+\;(x-6)=2x-5, & x\ge6. \end{cases}
Verificamos que
f(-1)=7 \quad\text{e}\quad f(6)=7,
enquanto para x\to\pm\infty\] temos \(f(x)\to+\infty.

Passo 5

O menor valor de f é 7, atingido em todo intervalo [-1,6]. Como nos extremos f\to+\infty, a imagem de f é
[7,\infty).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x\le-1, f(x)=-2x+5: reta decrescente que tende a +\infty quando x\to-\infty e passa por (-1,7).
  • Para -1\le x\le6, f(x)=7: segmento horizontal de (-1,7) até (6,7).
  • Para x\ge6, f(x)=2x-5: reta crescente que parte de (6,7) e vai a +\infty quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [7,\infty)
Gráfico: ramo decrescente de inclinação -2 até (-1,7), segmento horizontal em y=7 para -1\le x\le6, e ramo crescente de inclinação 2 a partir de (6,7).

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