Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contraparte: conjunto de valores que
atinge).
Informações do enunciado:
-
.
Condições que já ficam claras só de olhar a fórmula:
- O denominador não pode ser zero, isto é
. - O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero (para termos valores reais), ou seja
.
Passo 2
Vamos achar o domínio resolvendo a desigualdade
e lembrando que
.
Explicando a técnica (bem prática): para resolver
fazemos um quadro de sinais usando os zeros de
e
. Aqui:
- Numerador
tem zero em . - Denominador
tem zero em (onde a função é proibida).
Os pontos críticos são
e
. Agora analisamos o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos:
- Para
: (numerador negativo) e (denominador negativo) → fração positiva (neg/neg = pos). - Para
: e → fração negativa. - Para
: e → fração positiva.
Também observamos que em
a fração vale
, e como queremos
,
é permitido. Em
a expressão é indefinida (denominador zero), então
é excluído.
Portanto o conjunto de soluções da desigualdade é
que é o domínio pedido.
Passo 3
Agora vamos achar a imagem. Primeiro note que por definição da raiz quadrada temos sempre
para todo
do domínio. Assim a imagem será um subconjunto de
.
Uma boa estratégia é tentar inverter a relação: seja
com
. Temos
Elevar ao quadrado (note que isso é válido porque
):
Agora isolamos
em função de
. Multiplicando:
Se
obtemos
Observe que
equivale a
(como
não consideramos o sinal negativo). Para
não existe
que satisfaça a equação (isso pode ser verificado direto: se
então a igualdade
levaria a uma contradição aritmética). Portanto
não pertence à imagem.
Mas precisamos saber quais valores de
geram um
que esteja no domínio
. Em vez de testar a fórmula diretamente, é mais simples estudar o comportamento de
separadamente nas duas partes do domínio.
Passo 4
Análise em
.
- Em
temos . - À medida que
,
porque os termos dominantes são do primeiro grau (logo a razão tende a
). Assim
quando
.
A função
é contínua em
, logo
(composta com raiz) é contínua aí. Com limites nas extremidades iguais a
(em
) e a
(quando
), e sem alcançar
(pois este é só um limite), o intervalo de valores atingidos em
é
Passo 5
Análise em
.
- Quando
o denominador , o numerador , então . Assim quando . - Quando
temos novamente , logo quando .
A função é contínua em
e vai de
(próximo a
) decrescendo até aproximar-se de
sem atingi-la. Assim os valores atingidos em
formam o intervalo
Passo 6
Juntando as duas partes do domínio, a imagem total de
é a união dos intervalos obtidos:
Ou seja: todo número real não negativo é atingido por
, exceto exatamente
, que é apenas um valor limite a partir de ambas as partes do domínio mas não é assumido por nenhum
.
Resposta
Domínio:
Imagem: