Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
F(x)=\sqrt{\frac{2 x}{x-4}};

Passo 1

O enunciado dá a função F e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de F.
  • Determinar a imagem (contraparte: conjunto de valores que F atinge).
Informações do enunciado:
  • F(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{x-4}}.
Condições que já ficam claras só de olhar a fórmula:
  • O denominador não pode ser zero, isto é x\neq 4.
  • O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero (para termos valores reais), ou seja \dfrac{2x}{x-4}\ge 0.

Passo 2

Vamos achar o domínio resolvendo a desigualdade
\frac{2x}{x-4}\ge 0
e lembrando que x\neq 4.
Explicando a técnica (bem prática): para resolver \dfrac{A(x)}{B(x)}\ge0 fazemos um quadro de sinais usando os zeros de A(x) e B(x). Aqui:
  • Numerador 2x tem zero em x=0.
  • Denominador x-4 tem zero em x=4 (onde a função é proibida).
Os pontos críticos são x=0 e x=4. Agora analisamos o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos:
  • Para x<0: 2x<0 (numerador negativo) e x-4<0 (denominador negativo) → fração positiva (neg/neg = pos).
  • Para 0<x<4: 2x>0 e x-4<0 → fração negativa.
  • Para x>4: 2x>0 e x-4>0 → fração positiva.
Também observamos que em x=0 a fração vale 0, e como queremos \ge0, x=0 é permitido. Em x=4 a expressão é indefinida (denominador zero), então x=4 é excluído.
Portanto o conjunto de soluções da desigualdade é
(-\infty,0]\cup(4,\infty),
que é o domínio pedido.

Passo 3

Agora vamos achar a imagem. Primeiro note que por definição da raiz quadrada temos sempre F(x)\ge 0 para todo x do domínio. Assim a imagem será um subconjunto de [0,\infty).
Uma boa estratégia é tentar inverter a relação: seja y=F(x) com y\ge0. Temos
y=\sqrt{\frac{2x}{x-4}}
Elevar ao quadrado (note que isso é válido porque y\ge0):
y^2=\frac{2x}{x-4}.
Agora isolamos x em função de y. Multiplicando:
y^2(x-4)=2x
y^2 x -4y^2 = 2x
x(y^2-2)=4y^2.
Se y^2-2\neq 0 obtemos
x=\frac{4y^2}{y^2-2}.
Observe que y^2-2=0 equivale a y=\sqrt{2} (como y\ge0 não consideramos o sinal negativo). Para y=\sqrt{2} não existe x que satisfaça a equação (isso pode ser verificado direto: se y^2=2 então a igualdade 2=\dfrac{2x}{x-4} levaria a uma contradição aritmética). Portanto y=\sqrt{2} não pertence à imagem.
Mas precisamos saber quais valores de y\ge0 geram um x que esteja no domínio (-\infty,0]\cup(4,\infty). Em vez de testar a fórmula diretamente, é mais simples estudar o comportamento de F separadamente nas duas partes do domínio.

Passo 4

Análise em x\in(-\infty,0].
  • Em x=0 temos F(0)=\sqrt{0}=0.
  • À medida que x\to -\infty,
\frac{2x}{x-4}\to 2
porque os termos dominantes são do primeiro grau (logo a razão tende a 2). Assim
F(x)=\sqrt{\frac{2x}{x-4}}\to \sqrt{2}
quando x\to -\infty.
A função x\mapsto \dfrac{2x}{x-4} é contínua em (-\infty,0], logo F(x) (composta com raiz) é contínua aí. Com limites nas extremidades iguais a 0 (em x=0) e a \sqrt{2} (quando x\to -\infty), e sem alcançar \sqrt{2} (pois este é só um limite), o intervalo de valores atingidos em (-\infty,0] é
[0,\sqrt{2}).

Passo 5

Análise em x\in(4,\infty).
  • Quando x\to 4^+ o denominador x-4\to 0^+, o numerador 2x\to 8, então \dfrac{2x}{x-4}\to +\infty. Assim F(x)\to +\infty quando x\to 4^+.
  • Quando x\to +\infty temos novamente \dfrac{2x}{x-4}\to 2, logo F(x)\to \sqrt{2} quando x\to +\infty.
A função é contínua em (4,\infty) e vai de +\infty (próximo a x=4^+) decrescendo até aproximar-se de \sqrt{2} sem atingi-la. Assim os valores atingidos em (4,\infty) formam o intervalo
(\sqrt{2},\infty).

Passo 6

Juntando as duas partes do domínio, a imagem total de F é a união dos intervalos obtidos:
[0,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty)= [0,\infty)\setminus\{\sqrt{2}\}.
Ou seja: todo número real não negativo é atingido por F, exceto exatamente \sqrt{2}, que é apenas um valor limite a partir de ambas as partes do domínio mas não é assumido por nenhum x.

Resposta

Domínio: (-\infty,0]\cup(4,\infty)
Imagem: [0,\infty)\setminus\{\sqrt{2}\}

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