Determine se as funções abaixo são pares ou impares
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a função f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x} é par ou ímpar.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}.
  • O domínio natural dessa expressão é \mathbb{R}\setminus\{0\} (pois não se pode dividir por 0).
  • É possível considerar também a extensão por continuidade em x=0 usando \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}, se isso for relevante.

Passo 2

Definições (vamos colocar tudo bem claro para usar depois):
  • Uma função g é par se, para todo x do domínio de g, vale \;g(-x)=g(x).\
  • Uma função g é ímpar se, para todo x do domínio de g, vale \;g(-x)=-g(x).\
    Observação útil: para que falar em paridade faça sentido é preciso que o domínio seja simétrico em relação a 0, ou seja, que x esteja no domínio implique -x também esteja. No nosso caso o domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} é simétrico (se x\neq0 então -x\neq0), então podemos aplicar essas definições diretamente para x\neq0.

Passo 3

Calcular f(-x) explicitamente (para x\neq0):
f(-x)=\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}.
Agora usar a identidade trigonométrica básica \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x). Substituindo:
f(-x)=\frac{-\operatorname{sen}(x)}{-x}.
Simplificando os sinais iguais no numerador e denominador:
f(-x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Mas \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=f(x). Logo, para todo x\neq0,
f(-x)=f(x).

Passo 4

Interpretação do resultado: a igualdade \;f(-x)=f(x) para todo x\neq0 mostra que f é uma função par quando considerada no domínio natural \mathbb{R}\setminus\{0\}. Assim, sem estender a definição em 0, a função já é par.

Passo 5

Comentário sobre a extensão por continuidade em x=0: é comum definir a função contínua em 0 atribuindo
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Breve justificativa desse limite (fácil e padrão): para x pequeno e positivo existe a desigualdade
\cos x \le \frac{\operatorname{sen}x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo teorema do confronto (squeeze), \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1. Para x negativo usa-se a paridade já demonstrada. Assim, se definirmos f(0)=1 obtemos uma função contínua em todo \mathbb{R}. Verificação de paridade com essa extensão: para x\neq0 já temos f(-x)=f(x); em x=0 também vale f(-0)=f(0). Portanto a extensão com f(0)=1 permanece sendo par. (Observação: se tentássemos tornar a função ímpar, seria necessário f(0)=0, o que contradiz o limite que é 1.)

Resposta

f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x} é par.

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