Determine se as funções abaixo são pares ou impares
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a função
é par ou ímpar.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio natural dessa expressão é
(pois não se pode dividir por ). - É possível considerar também a extensão por continuidade em
usando , se isso for relevante.
Passo 2
Definições (vamos colocar tudo bem claro para usar depois):
- Uma função
é par se, para todo do domínio de , vale .\ - Uma função
é ímpar se, para todo do domínio de , vale .\
Observação útil: para que falar em paridade faça sentido é preciso que o domínio seja simétrico em relação a, ou seja, que esteja no domínio implique também esteja. No nosso caso o domínio é simétrico (se então ), então podemos aplicar essas definições diretamente para .
Passo 3
Calcular
explicitamente (para
):
Agora usar a identidade trigonométrica básica
. Substituindo:
Simplificando os sinais iguais no numerador e denominador:
Mas
. Logo, para todo
,
Passo 4
Interpretação do resultado: a igualdade
para todo
mostra que
é uma função par quando considerada no domínio natural
. Assim, sem estender a definição em
, a função já é par.
Passo 5
Comentário sobre a extensão por continuidade em
: é comum definir a função contínua em
atribuindo
Breve justificativa desse limite (fácil e padrão): para
pequeno e positivo existe a desigualdade
e como
, pelo teorema do confronto (squeeze),
. Para
negativo usa-se a paridade já demonstrada. Assim, se definirmos
obtemos uma função contínua em todo
. Verificação de paridade com essa extensão: para
já temos
; em
também vale
. Portanto a extensão com
permanece sendo par. (Observação: se tentássemos tornar a função ímpar, seria necessário
, o que contradiz o limite que é
.)