Determine o domínio e a imagem das funções de várias variáveis
f(x, y, z)=\ln \left(36-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(36-x^{2}-y^{2}-z^{2}\bigr)
e pede duas coisas: o domínio (todos os pontos (x,y,z) onde f está definida) e a imagem (o conjunto de valores reais que f pode assumir).

Passo 2

Regra importante sobre o logaritmo natural: \ln(t) está definida somente para argumentos t estritamente positivos, ou seja, para t>0. Portanto, para que f(x,y,z) exista devemos ter
36-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0.
Aqui eu uso a propriedade básica do logaritmo: não podemos tomar \ln(0) nem \ln de número negativo no domínio real.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade:
36-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}<36.
Isto significa que o domínio é o conjunto de pontos cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor que 36. Geometricamente, isso é a bola aberta (interior da esfera) de centro na origem e raio 6, porque a condição x^{2}+y^{2}+z^{2}<6^{2} é exatamente a definição de uma bola de raio 6.

Passo 4

Vou escrever de forma útil para a imagem: defina r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Pela condição do domínio temos 0\le r^{2}<36. O argumento do \ln é
s=36-r^{2}.
Com r^{2} variando em [0,36), s varia em (0,36]: o valor máximo s=36 ocorre quando r^{2}=0 (ou seja, em (0,0,0)) e s pode ficar arbitrariamente pequeno e positivo quando r^{2} se aproxima de 36 pela esquerda; porém s nunca é 0 nem negativo porque a desigualdade é estrita.

Passo 5

Agora usamos propriedades do \ln. A função \ln\colon(0,\infty)\to\mathbb{R} é contínua e estritamente crescente. Em particular:
  • \ln transforma o máximo s=36 em \ln(36), logo \ln(36) é um valor atingido por f (em (0,0,0)).
  • Quando s\to 0^{+} tem-se \ln(s)\to -\infty. Como s pode ficar arbitrariamente próximo de 0 (mas positivo), os valores de f podem ficar arbitrariamente negativos, descendo sem limite inferior.
Combinando essas observações, o conjunto dos valores possíveis de f é o intervalo
(-\infty,\ln(36)].

Passo 6

Exemplos concretos para fixar:
  • Em (x,y,z)=(0,0,0) temos f(0,0,0)=\ln(36), então o supremo da imagem é alcançado.
  • Em um ponto com x^{2}+y^{2}+z^{2}=35{,}99 (muito próximo de 36) o argumento 36-x^{2}-y^{2}-z^{2} é 0{,}01 e f é \ln(0{,}01), um número negativo grande em módulo. Fazendo isso mais próximo da superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=36 obtemos valores de f cada vez mais negativos, indo para -\infty.

Resposta

Domínio: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}<36\}.\n
Imagem: (-\infty,\ln(36)].

Exercícios relacionados