Determine o domínio e a imagem das funções de várias variáveis
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: o domínio (todos os pontos
onde
está definida) e a imagem (o conjunto de valores reais que
pode assumir).
Passo 2
Regra importante sobre o logaritmo natural:
está definida somente para argumentos
estritamente positivos, ou seja, para
. Portanto, para que
exista devemos ter
Aqui eu uso a propriedade básica do logaritmo: não podemos tomar
nem
de número negativo no domínio real.
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade:
Isto significa que o domínio é o conjunto de pontos cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor que
. Geometricamente, isso é a bola aberta (interior da esfera) de centro na origem e raio
, porque a condição
é exatamente a definição de uma bola de raio
.
Passo 4
Vou escrever de forma útil para a imagem: defina
. Pela condição do domínio temos
. O argumento do
é
Com
variando em
,
varia em
: o valor máximo
ocorre quando
(ou seja, em
) e
pode ficar arbitrariamente pequeno e positivo quando
se aproxima de
pela esquerda; porém
nunca é
nem negativo porque a desigualdade é estrita.
Passo 5
Agora usamos propriedades do
. A função
é contínua e estritamente crescente. Em particular:
-
transforma o máximo em , logo é um valor atingido por (em ). - Quando
tem-se . Como pode ficar arbitrariamente próximo de (mas positivo), os valores de podem ficar arbitrariamente negativos, descendo sem limite inferior.
Combinando essas observações, o conjunto dos valores possíveis de
é o intervalo
Passo 6
Exemplos concretos para fixar:
- Em
temos , então o supremo da imagem é alcançado. - Em um ponto com
(muito próximo de ) o argumento é e é , um número negativo grande em módulo. Fazendo isso mais próximo da superfície obtemos valores de cada vez mais negativos, indo para .
Resposta
Domínio:
.\n
Imagem: .
Imagem: