Determine o domínio e a imagem das funções de várias variáveis
f(x, y)=\ln (2 x+y-2)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis f definida por
f(x,y)=\ln(2x+y-2).
As perguntas são: determinar (1) o domínio de f e (2) a imagem (conjunto de valores possíveis) de f. Informações relevantes fornecidas: a expressão dentro do logaritmo é 2x+y-2 e a função está definida a partir do logaritmo natural \ln(\cdot).

Passo 2

Condição necessária para que f(x,y) esteja definida: lembrar a regra do logaritmo natural. A função \ln(t) só está definida para argumentos t estritamente positivos. Ou seja, para qualquer ponto (x,y) da função precisamos ter
2x+y-2>0.
Aqui 2x+y-2 é a expressão dentro do logaritmo; ela precisa ser maior que zero.

Passo 3

Vamos isolar y na desigualdade para escrever o domínio de forma clara. Partindo de
2x+y-2>0,
somamos 2-2x em ambos os lados e obtemos
y>2-2x.
Portanto o conjunto de pontos que satisfazem essa condição é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>2-2x\}.

Passo 4

Interpretação geométrica do domínio (importante para a prova): a desigualdade y>2-2x representa o semiplano aberto acima da reta de equação y=2-2x. A reta y=2-2x é a fronteira, e os pontos sobre a reta não pertencem ao domínio porque aí 2x+y-2=0 e \ln(0) não está definido. Exemplos concretos que mostram pontos do domínio: para x=0 escolhemos y=3 (pois 3>2), então (0,3) pertence ao domínio; para x=1 escolhemos y=1,1 (pois 1,1>0), então (1,1{,}1) pertence ao domínio.

Passo 5

Agora a imagem. Primeiro lembrete: a função \ln é uma bijeção de (0,+\infty) sobre (-\infty,+\infty). Ou seja,
\ln:(0,+\infty)\to\mathbb{R}
associa a cada número positivo um número real qualquer e, para cada z\in\mathbb{R}, existe exatamente um t>0 tal que \ln(t)=z (esse t é t=e^{z}). Então, se a expressão 2x+y-2 puder assumir qualquer valor positivo, a imagem de f será todo \mathbb{R}.

Passo 6

Mostro que 2x+y-2 pode ser qualquer número positivo: tome um s>0 arbitrário. Basta escolher, por exemplo, x=0 e y=s+2. Para esses valores temos
2x+y-2 = 0 + (s+2) - 2 = s,
que é positivo. Então qualquer s>0 é alcançado pela expressão interna do logaritmo em algum ponto do domínio. Aplicando \ln a esse s obtemos \ln(s), e como s percorre todos os positivos, \ln(s) percorre todos os reais. Alternativamente, dado qualquer z\in\mathbb{R}, escolha s=e^{z}>0 e o ponto (0,e^{z}+2) faz f(0,e^{z}+2)=\ln(e^{z})=z. Isso mostra que todo z\in\mathbb{R} é atingido por f.

Passo 7

Conclusão sobre a imagem: pela argumentação do passo anterior, a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, isto é \mathbb{R}.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>2-2x\}
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}

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