Determine o domínio e a imagem das funções de várias variáveis
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
definida por
As perguntas são: determinar (1) o domínio de
e (2) a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. Informações relevantes fornecidas: a expressão dentro do logaritmo é
e a função está definida a partir do logaritmo natural
.
Passo 2
Condição necessária para que
esteja definida: lembrar a regra do logaritmo natural. A função
só está definida para argumentos
estritamente positivos. Ou seja, para qualquer ponto
da função precisamos ter
Aqui
é a expressão dentro do logaritmo; ela precisa ser maior que zero.
Passo 3
Vamos isolar
na desigualdade para escrever o domínio de forma clara. Partindo de
somamos
em ambos os lados e obtemos
Portanto o conjunto de pontos que satisfazem essa condição é
Passo 4
Interpretação geométrica do domínio (importante para a prova): a desigualdade
representa o semiplano aberto acima da reta de equação
. A reta
é a fronteira, e os pontos sobre a reta não pertencem ao domínio porque aí
e
não está definido. Exemplos concretos que mostram pontos do domínio: para
escolhemos
(pois
), então
pertence ao domínio; para
escolhemos
(pois
), então
pertence ao domínio.
Passo 5
Agora a imagem. Primeiro lembrete: a função
é uma bijeção de
sobre
. Ou seja,
associa a cada número positivo um número real qualquer e, para cada
, existe exatamente um
tal que
(esse
é
). Então, se a expressão
puder assumir qualquer valor positivo, a imagem de
será todo
.
Passo 6
Mostro que
pode ser qualquer número positivo: tome um
arbitrário. Basta escolher, por exemplo,
e
. Para esses valores temos
que é positivo. Então qualquer
é alcançado pela expressão interna do logaritmo em algum ponto do domínio. Aplicando
a esse
obtemos
, e como
percorre todos os positivos,
percorre todos os reais. Alternativamente, dado qualquer
, escolha
e o ponto
faz
. Isso mostra que todo
é atingido por
.
Passo 7
Conclusão sobre a imagem: pela argumentação do passo anterior, a imagem de
é todo o conjunto dos números reais, isto é
.