Determine o domínio e a imagem das funções de várias variáveis
f(x, y)=x^{4} e^{2 x y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) da função de duas variáveis
f(x,y)=x^{4}e^{2xy}.
Informações dadas e implicadas pelo enunciado:
\;x e \;y são variáveis reais (entendemos a função como f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}).
A expressão envolve x^{4} (potência inteira) e a exponencial e^{2xy}. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Analisando o domínio: o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido (está bem definida como número real). Duas observações fundamentais:
  • Polinômios como x^{4} estão definidos para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}, portanto para todo 2xy\in\mathbb{R}.
    Como não há divisão por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos etc., não existe restrição adicional. Logo o domínio é todo o plano real \mathbb{R}^2.

Passo 3

Agora vamos estudar o sinal e os possíveis valores de f (isso nos leva à imagem).
Primeiro propriedade útil: para todo x\in\mathbb{R},
x^{4}\ge 0,
porque qualquer potência de expoente par de um real é não negativa. Em particular x^{4}=0 somente quando x=0; para x\neq 0 temos x^{4}>0.
Segundo: para todo t\in\mathbb{R},
e^{t}>0.
A exponencial nunca é zero nem negativa; seus valores cobrem todo (0,\infty).
Multiplicando essas duas observações para t=2xy obtemos, para todo (x,y),
f(x,y)=x^{4}e^{2xy}\ge 0,
com igualdade somente quando x^{4}=0, i.e. quando x=0. Portanto f(x,y) nunca assume valores negativos. Assim a imagem está contida em [0,\infty).

Passo 4

Verificamos se 0 pertence à imagem. Tomando x=0 (qualquer y serve), obtemos
f(0,y)=0^{4}e^{0}=0.
Logo 0 é alcançado e pertence à imagem. Bom — já sabemos que 0\in\mathrm{Im}(f).

Passo 5

Agora precisamos mostrar que todo número positivo A>0 também é alcançável por f; isso garante que todos os valores de (0,\infty) estão na imagem e, combinado com o passo anterior, teremos [0,\infty).
Estratégia simples e prática: escolher um valor fixo de x não nulo (por exemplo x=1) e variar y. Para x=1 temos
f(1,y)=1^{4}e^{2\cdot 1\cdot y}=e^{2y}.
Como y varia em \mathbb{R}, a função y\mapsto e^{2y} assume todos os valores em (0,\infty) (propriedade básica da exponencial: imagem (0,\infty)). Então para qualquer A>0 existe um y\in\mathbb{R} tal que e^{2y}=A, explicitamente
y=\tfrac{1}{2}\ln(A).
Isso mostra que qualquer A>0 é atingido por f (com x=1 e y=\tfrac{1}{2}\ln(A)). Portanto (0,\infty)\subseteq \mathrm{Im}(f).

Passo 6

Juntando os resultados:
  • do Passo 3 e Passo 4 temos 0\in\mathrm{Im}(f) e \mathrm{Im}(f)\subseteq[0,\infty);
  • do Passo 5 temos (0,\infty)\subseteq\mathrm{Im}(f).
    Portanto \mathrm{Im}(f)=[0,\infty).
Também vale notar, para auto-confiança na prova, que uma forma alternativa é: para dado A>0 podemos escolher qualquer x\neq 0 e resolver para y em
x^{4}e^{2xy}=A \quad\Longrightarrow\quad e^{2xy}=\frac{A}{x^{4}}\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{2x}\ln\!\left(\frac{A}{x^{4}}\right),
o que também dá um y\in\mathbb{R} porque o argumento do logaritmo é positivo. Ambas as abordagens mostram bem que todos os positivos são alcançáveis.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: [0,\infty)

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