Determine o domínio e a imagem das funções de várias variáveis
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) da função de duas variáveis
Informações dadas e implicadas pelo enunciado:
e
são variáveis reais (entendemos a função como
).
A expressão envolve (potência inteira) e a exponencial
. Não há outras restrições explícitas no enunciado.
A expressão envolve
Passo 2
Analisando o domínio: o domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida como número real). Duas observações fundamentais:
- Polinômios como
estão definidos para todo . - A função exponencial
está definida para todo , portanto para todo .
Como não há divisão por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos etc., não existe restrição adicional. Logo o domínio é todo o plano real.
Passo 3
Agora vamos estudar o sinal e os possíveis valores de
(isso nos leva à imagem).
Primeiro propriedade útil: para todo ,
Primeiro propriedade útil: para todo
porque qualquer potência de expoente par de um real é não negativa. Em particular
somente quando
; para
temos
.
Segundo: para todo
,
A exponencial nunca é zero nem negativa; seus valores cobrem todo
.
Multiplicando essas duas observações para
obtemos, para todo
,
com igualdade somente quando
, i.e. quando
. Portanto
nunca assume valores negativos. Assim a imagem está contida em
.
Passo 4
Verificamos se
pertence à imagem. Tomando
(qualquer
serve), obtemos
Logo
é alcançado e pertence à imagem. Bom — já sabemos que
.
Passo 5
Agora precisamos mostrar que todo número positivo
também é alcançável por
; isso garante que todos os valores de
estão na imagem e, combinado com o passo anterior, teremos
.
Estratégia simples e prática: escolher um valor fixo de
não nulo (por exemplo
) e variar
. Para
temos
Como
varia em
, a função
assume todos os valores em
(propriedade básica da exponencial: imagem
). Então para qualquer
existe um
tal que
, explicitamente
Isso mostra que qualquer
é atingido por
(com
e
). Portanto
.
Passo 6
Juntando os resultados:
- do Passo 3 e Passo 4 temos
e ; - do Passo 5 temos
.
Portanto.
Também vale notar, para auto-confiança na prova, que uma forma alternativa é: para dado
podemos escolher qualquer
e resolver para
em
o que também dá um
porque o argumento do logaritmo é positivo. Ambas as abordagens mostram bem que todos os positivos são alcançáveis.
Resposta
Domínio:
Imagem: