Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e desenhe um esboço de seu gráfico:
f(x)=3 x^{2}-5

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio e a imagem da função
f(x)=3x^{2}-5
e fazermos um esboço do seu gráfico. Aqui o conteúdo é estudo de funções polinomiais de 2º grau: para isso precisamos lembrar que o domínio de um polinômio é todo \mathbb{R} e a imagem é obtida a partir do vértice da parábola, sabendo se ela abre para cima ou para baixo.

Passo 2

Como f é um polinômio, não há restrição para x. Logo o domínio é
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty)\,.

Passo 3

A parábola dada por f(x)=3x^{2}-5 tem coeficiente de x^2 positivo 3>0, então ela é côncava para cima. O vértice fica em x=0 e
f(0)=3\cdot0^{2}-5=-5\,.
Isso nos dá o valor mínimo da função. Assim a imagem é
\text{Im}(f)=[-5,\infty)\,.

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  1. Vértice em (0,-5).
  2. Intercepto em y é f(0)=-5.
  3. Raízes (onde f(x)=0) em
3x^{2}-5=0\implies x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}\,.
  1. A parábola abre para cima e cresce sem limite.
Esboço aproximado (eixo x horizontal, eixo y vertical):
 y
 |
 \(5+\) * 
 | * * 
 | * * 
 \(0+\)----*-----*----> x
 | -√(5/3) √(5/3)
 -\(5+\) * 
 | 

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [-5,\infty)
Gráfico: parábola côncava para cima com vértice em (0,-5).

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