Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e desenhe um esboço de seu gráfico: f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x+1, & \text { se } & x \geq 0 \\\\ -x, & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Queremos determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo é análise de funções piecewise.
Passo 2
Para achar o domínio, basta verificar para quais x há definição de f(x). Como o enunciado cobre os casos x<0 e x\ge0, não sobra nenhum x sem definição.
Logo,
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í
Passo 3
Para obter a imagem, calculamos o conjunto de valores de cada ramo e depois fazemos a união:
Para x<0: temos f(x)=-x.
Se x\to0^-, então -x\to0^+.
Se x\to -\infty, então -x\to +\infty.
Logo o ramo x<0 cobre os valores em (0,\infty).
Para x\ge0: temos f(x)=x+1.
Em x=0, f(0)=1.
Se x\to+\infty, então x+1\to+\infty.
Logo o ramo x\ge0 cobre os valores em [1,\infty).
Fazendo a união
(0,\infty)\;\cup\;[1,\infty)\;=\;(0,\infty).
Portanto
\text{Imagem}(f)=(0,\infty).
Passo 4
Esboço do gráfico:
Para x<0, é a reta decrescente y=-x, que passa por (-1,1), (-2,2), aproximando-se de (0,0) mas com ponto aberto em (0,0).
Para x\ge0, é a reta crescente y=x+1, que passa por (0,1) com ponto fechado e segue subindo (em x=1 temos y=2, em x=2 temos y=3, etc.).
Um esboço aproximado em coordenadas inteiras:
y
|
4 | /
3 | /
2 | / ← ramo \(y=x +1\) para x\(>=01\) |●_/
0 |◯ ← ramo y=–x para x<\(0+\)---------------- x
-3 -2 -\(1012\)