Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que é pedido, de forma clara:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto-valor) de
. - Verificar se
é injetora. - Se for injetora, calcular a função inversa
.
Informações explícitas que temos da definição:
- Aparece uma raiz quadrada real
, que exige que o radicando seja não negativo. - A raiz quadrada aqui é a raiz principal, sempre produzindo um número
.
Nada mais foi dado.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrando que, para
ser real, é necessário que o radicando satisfaça
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto todos os
maiores ou iguais a
são válidos. Conclusão intermediária: o domínio de
é o conjunto de todos os números reais
tais que
.
Passo 3
Breve explicação sobre imagem: a imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de valores que
realmente assume quando
percorre o domínio. Aqui
. Vamos analisar o comportamento de
quando
:
- No menor ponto do domínio,
, tem-se . - À medida que
cresce, cresce e cresce sem limite superior (vai para ).
Como a raiz toma todos os valores emquando varia em , ao somar obtemos que assume todos os valores de
Logo a imagem de
é
.
Passo 4
Verificar injetividade: uma função é injetora se valores distintos de entrada levam a valores distintos de saída. Uma forma prática de mostrar injetividade é assumir que
e deduzir
.
Suponha
. Então
Subtraindo
dos dois lados:
As raízes quadradas aqui são números não negativos; igualdade entre não-negativos implica que os quadrados sejam iguais. Elevando ao quadrado:
Subtraindo
:
Portanto
é estritamente injetora (cada saída vem de no máximo um
). Outra observação intuitiva: a função
é estritamente crescente em seu domínio, e somar
não muda essa monotonicidade; funções estritamente crescentes são injetoras.
Passo 5
Calcular a inversa: como
é injetora e sua imagem é
, existe uma inversa
. Para obter uma fórmula, trocamos
e resolvemos para
em termos de
.
Começando por
isolamos a raiz:
Aqui é importante notar que, para valores
na imagem, tem-se
, portanto podemos elevar ao quadrado sem ambiguidade:
Isolando
:
Assim a expressão para a inversa, trocando o papel de
por
(forma usual), é
com domínio de
sendo exatamente a imagem de
, isto é
. Para checar rapidamente: para
tem
, então
, e também
para
. Logo a inversa está correta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetora: Sim (é estritamente crescente)
Inversa: , com domínio
.
Imagem:
Injetora: Sim (é estritamente crescente)
Inversa: