Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
f(x)=1+\sqrt{3+x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x)=1+\sqrt{3+x}.
O que é pedido, de forma clara:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto-valor) de f.
  • Verificar se f é injetora.
  • Se for injetora, calcular a função inversa f^{-1}.
Informações explícitas que temos da definição:
  • Aparece uma raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,}, que exige que o radicando seja não negativo.
  • A raiz quadrada aqui é a raiz principal, sempre produzindo um número \ge 0.
    Nada mais foi dado.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrando que, para \sqrt{3+x} ser real, é necessário que o radicando satisfaça
3+x \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
x \ge -3.
Portanto todos os x maiores ou iguais a -3 são válidos. Conclusão intermediária: o domínio de f é o conjunto de todos os números reais x tais que x\ge -3.

Passo 3

Breve explicação sobre imagem: a imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de valores que f(x) realmente assume quando x percorre o domínio. Aqui f(x)=1+\sqrt{3+x}. Vamos analisar o comportamento de \sqrt{3+x} quando x\in[-3,\infty):
  • No menor ponto do domínio, x=-3, tem-se \sqrt{3+(-3)}=\sqrt{0}=0.
  • À medida que x cresce, 3+x cresce e \sqrt{3+x} cresce sem limite superior (vai para +\infty).
    Como a raiz toma todos os valores em [0,\infty) quando x varia em [-3,\infty), ao somar 1 obtemos que f(x) assume todos os valores de
[1,\infty).
Logo a imagem de f é [1,\infty).

Passo 4

Verificar injetividade: uma função é injetora se valores distintos de entrada levam a valores distintos de saída. Uma forma prática de mostrar injetividade é assumir que f(x_1)=f(x_2) e deduzir x_1=x_2.
Suponha f(x_1)=f(x_2). Então
1+\sqrt{3+x_1}=1+\sqrt{3+x_2}.
Subtraindo 1 dos dois lados:
\sqrt{3+x_1}=\sqrt{3+x_2}.
As raízes quadradas aqui são números não negativos; igualdade entre não-negativos implica que os quadrados sejam iguais. Elevando ao quadrado:
3+x_1=3+x_2.
Subtraindo 3:
x_1=x_2.
Portanto f é estritamente injetora (cada saída vem de no máximo um x). Outra observação intuitiva: a função \sqrt{3+x} é estritamente crescente em seu domínio, e somar 1 não muda essa monotonicidade; funções estritamente crescentes são injetoras.

Passo 5

Calcular a inversa: como f é injetora e sua imagem é [1,\infty), existe uma inversa f^{-1}\colon[1,\infty)\to[-3,\infty). Para obter uma fórmula, trocamos y=f(x) e resolvemos para x em termos de y.
Começando por
y=1+\sqrt{3+x},
isolamos a raiz:
y-1=\sqrt{3+x}.
Aqui é importante notar que, para valores y na imagem, tem-se y-1\ge 0, portanto podemos elevar ao quadrado sem ambiguidade:
(y-1)^2=3+x.
Isolando x:
x=(y-1)^2-3.
Assim a expressão para a inversa, trocando o papel de y por x (forma usual), é
f^{-1}(x)=(x-1)^2-3,
com domínio de f^{-1} sendo exatamente a imagem de f, isto é [1,\infty). Para checar rapidamente: para x\ge 1 tem |x-1|=x-1, então f(f^{-1}(x))=1+\sqrt{3+(x-1)^2-3}=1+\sqrt{(x-1)^2}=1+(x-1)=x, e também f^{-1}(f(x))=x para x\ge-3. Logo a inversa está correta.

Resposta

Domínio: [-3,\infty)
Imagem: [1,\infty)
Injetora: Sim (é estritamente crescente)
Inversa: f^{-1}(x)=(x-1)^2-3, com domínio [1,\infty).

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