Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
. - Verificar se
é injetora. - Se for injetora, calcular a inversa
.
Informações relevantes fornecidas: a função é o logaritmo natural aplicado à expressão
.
Passo 2
Entender a condição para o logaritmo natural. A função natural logarítmica
está definida somente para argumentos positivos, isto é, para
. Portanto, para que
faça sentido, é preciso que o argumento
seja positivo.
Resolver a desigualdade:
Subtraindo
dos dois lados:
Logo, todos os
maiores que
são permitidos.
Portanto o domínio de
é o intervalo aberto
.
Passo 3
Determinar a imagem usando a propriedade da função
. A função
toma todos os valores reais quando
varia em
; formalmente,
é sobrejetora sobre
.
Aqui pegamos do domínio que
percorre o intervalo
quando
percorre
. Assim, os valores de
percorrem todo
.
Portanto a imagem de
é
.
Passo 4
Verificar injetividade. Uma função é injetora se valores diferentes de entrada geram valores diferentes de saída. Uma maneira prática é investigar se
é estritamente monotônica no seu domínio; se for estritamente crescente ou decrescente, então é injetora.
Calcule a derivada (é uma ferramenta simples e direta aqui). Para
, usando a regra da cadeia:
No domínio
temos
, logo
. Assim
para todo
, o que significa que
é estritamente crescente nesse domínio.
Como
é estritamente crescente, concluímos que
é injetora.
Passo 5
Encontrar a inversa de
. Para achar
fazemos a troca de papéis entre
e
e resolvemos para a nova variável independente. Começamos escrevendo
Agora resolvemos para
em termos de
. Exponenciando ambos os lados (função inversa do logaritmo é a exponencial):
Isolando
:
Tomando a notação usual da inversa (trocando
por
para escrever a fórmula de
):
Passo 6
Verificação rápida das composições para garantir que a inversa está correta.
- Composição
:
válido para todo
(domínio de
).
- Composição
:
válido para todo
(domínio de
).
As duas composições retornam o argumento original, confirmando que
está correta.
Passo 7
Resumo das propriedades da inversa (importante para a prova): a função inversa
tem domínio igual à imagem de
, isto é,
; e imagem igual ao domínio de
, isto é,
. Isso é regra geral: dom
Im
e Im
dom
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa:
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: