Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
f(x)=\ln (x+3).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\ln(x+3) e pede:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de f.
  • Verificar se f é injetora.
  • Se for injetora, calcular a inversa f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas: a função é o logaritmo natural aplicado à expressão x+3.

Passo 2

Entender a condição para o logaritmo natural. A função natural logarítmica \ln(t) está definida somente para argumentos positivos, isto é, para t>0. Portanto, para que f(x)=\ln(x+3) faça sentido, é preciso que o argumento x+3 seja positivo.
Resolver a desigualdade:
x+3>0
Subtraindo 3 dos dois lados:
x>-3.
Logo, todos os x maiores que -3 são permitidos.
Portanto o domínio de f é o intervalo aberto (-3,\infty).

Passo 3

Determinar a imagem usando a propriedade da função \ln. A função \ln(t) toma todos os valores reais quando t varia em (0,\infty); formalmente,
\ln:(0,\infty)\to\mathbb{R}
é sobrejetora sobre \mathbb{R}.
Aqui pegamos do domínio que x+3 percorre o intervalo (0,\infty) quando x percorre (-3,\infty). Assim, os valores de \ln(x+3) percorrem todo \mathbb{R}.
Portanto a imagem de f é (-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 4

Verificar injetividade. Uma função é injetora se valores diferentes de entrada geram valores diferentes de saída. Uma maneira prática é investigar se f é estritamente monotônica no seu domínio; se for estritamente crescente ou decrescente, então é injetora.
Calcule a derivada (é uma ferramenta simples e direta aqui). Para f(x)=\ln(x+3), usando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{x+3}\cdot 1=\frac{1}{x+3}.
No domínio x>-3 temos x+3>0, logo \dfrac{1}{x+3}>0. Assim f'(x)>0 para todo x\in(-3,\infty), o que significa que f é estritamente crescente nesse domínio.
Como f é estritamente crescente, concluímos que f é injetora.

Passo 5

Encontrar a inversa de f. Para achar f^{-1} fazemos a troca de papéis entre x e y e resolvemos para a nova variável independente. Começamos escrevendo
y=\ln(x+3).
Agora resolvemos para x em termos de y. Exponenciando ambos os lados (função inversa do logaritmo é a exponencial):
e^{y}=x+3.
Isolando x:
x=e^{y}-3.
Tomando a notação usual da inversa (trocando y por x para escrever a fórmula de f^{-1}):
f^{-1}(x)=e^{x}-3.

Passo 6

Verificação rápida das composições para garantir que a inversa está correta.
  1. Composição f(f^{-1}(x)):
f(f^{-1}(x))=\ln\bigl(f^{-1}(x)+3\bigr)=\ln\bigl(e^{x}-3+3\bigr)=\ln(e^{x})=x,
válido para todo x\in\mathbb{R} (domínio de f^{-1}).
  1. Composição f^{-1}(f(x)):
f^{-1}(f(x))=e^{\ln(x+3)}-3=(x+3)-3=x,
válido para todo x\in(-3,\infty) (domínio de f).
As duas composições retornam o argumento original, confirmando que f^{-1} está correta.

Passo 7

Resumo das propriedades da inversa (importante para a prova): a função inversa f^{-1}(x)=e^{x}-3 tem domínio igual à imagem de f, isto é, \mathbb{R}; e imagem igual ao domínio de f, isto é, (-3,\infty). Isso é regra geral: dom (f^{-1})=Im (f) e Im (f^{-1})=dom (f).

Resposta

Domínio: (-3,\infty)
Imagem: \mathbb{R}
Injetora: Sim
Inversa: f^{-1}(x)=e^{x}-3

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