Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
f(x)=e^{x+5}.

Passo 1

O enunciado fornece a função f definida por
f(x)=e^{x+5}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de f.
  • Verificar se f é injetora.
  • Caso seja injetora, calcular a função inversa f^{-1}.
Informações explícitas que temos:
  • A fórmula da função é f(x)=e^{x+5}.

Passo 2

Determinar o domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a fórmula da função faz sentido. A função exponencial x\mapsto e^{x+5} é definida para qualquer número real porque exponenciação com base e aceita expoente real sem restrição.
Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.

Passo 3

Determinar a imagem.
Explicação didática sobre a exponencial: para qualquer real t tem-se e^t>0. Além disso, quando t\to\infty temos e^t\to\infty e quando t\to-\infty temos e^t\to0^+ (tende a zero pela direita, nunca alcança zero). Aqui t=x+5 percorre todos os reais quando x percorre \mathbb{R}, pois a adição de 5 apenas desloca o eixo.
Logo os valores possíveis de f(x)=e^{x+5} são todos os números estritamente positivos. Assim a imagem é
\text{Im}(f)=(0,\infty).

Passo 4

Verificar injetividade.
Definição prática: uma função é injetora se valores distintos de entrada produzem valores distintos de saída. Uma maneira eficaz de provar injetividade é mostrar que a função é estritamente monotônica (estritamente crescente ou estritamente decrescente).
Cálculo da derivada (explicando o que é): a derivada f'(x) mede a inclinação instantânea da função; se f'(x)>0 para todo x então f é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Para f(x)=e^{x+5} temos
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x+5}=e^{x+5},
porque a derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot u' e aqui u=x+5 tem u'=1.
Observação: e^{x+5}>0 para todo x, logo f'(x)>0 para todo x. Assim f é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Outra forma curta (intuitiva): se e^{a}=e^{b} então, aplicando logaritmo natural (operador que “desfaz” a exponencial; mais detalhes no passo seguinte), conclui-se a=b, o que também mostra injetividade.

Passo 5

Encontrar a inversa f^{-1}.
Método: para achar f^{-1} escrevemos y=f(x)=e^{x+5} e resolvemos para x em função de y. Então trocamos o papel de x e y para obter a fórmula da função inversa definida em sua própria variável.
Começando,
y=e^{x+5}.
Como a exponencial é positiva, só podemos inverter para y>0. Aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial) em ambos os lados; o logaritmo natural \ln(\cdot) está definido apenas para argumentos positivos e satisfaz \ln(e^t)=t para todo t\in\mathbb{R}.
Aplicando \ln,
\ln y = \ln\bigl(e^{x+5}\bigr)=x+5.
Isolando x,
x=\ln y -5.
Agora, para escrever a função inversa substituímos y por x (convenção de que a variável independente da inversa é chamada x):
f^{-1}(x)=\ln x -5, \qquad\text{com domínio }(0,\infty).í

Passo 6

Verificação rápida da inversa por composições (para ganhar confiança).
Calcular f(f^{-1}(x)) para x>0:
f(f^{-1}(x))=f(\ln x -5)=e^{(\ln x -5)+5}=e^{\ln x}=x.
Calcular f^{-1}(f(x)) para x\in\mathbb{R}:
f^{-1}(f(x))=f^{-1}\bigl(e^{x+5}\bigr)=\ln\bigl(e^{x+5}\bigr)-5=(x+5)-5=x.
As duas composições dão as identidades nas respetivas partes do domínio, confirmando que a fórmula encontrada é de fato a inversa.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)
Injetora: Sim
Inversa: f^{-1}(x)=\ln x -5 (com domínio (0,\infty))

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