Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de
. - Verificar se
é injetora. - Caso seja injetora, calcular a função inversa
.
Informações explícitas que temos:
- A fórmula da função é
.
Passo 2
Determinar o domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a fórmula da função faz sentido. A função exponencial
é definida para qualquer número real porque exponenciação com base
aceita expoente real sem restrição.
Portanto o domínio é
Passo 3
Determinar a imagem.
Explicação didática sobre a exponencial: para qualquer real
tem-se
. Além disso, quando
temos
e quando
temos
(tende a zero pela direita, nunca alcança zero). Aqui
percorre todos os reais quando
percorre
, pois a adição de
apenas desloca o eixo.
Logo os valores possíveis de
são todos os números estritamente positivos. Assim a imagem é
Passo 4
Verificar injetividade.
Definição prática: uma função é injetora se valores distintos de entrada produzem valores distintos de saída. Uma maneira eficaz de provar injetividade é mostrar que a função é estritamente monotônica (estritamente crescente ou estritamente decrescente).
Cálculo da derivada (explicando o que é): a derivada
mede a inclinação instantânea da função; se
para todo
então
é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Para
temos
porque a derivada de
em relação a
é
e aqui
tem
.
Observação:
para todo
, logo
para todo
. Assim
é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Outra forma curta (intuitiva): se
então, aplicando logaritmo natural (operador que “desfaz” a exponencial; mais detalhes no passo seguinte), conclui-se
, o que também mostra injetividade.
Passo 5
Encontrar a inversa
.
Método: para achar
escrevemos
e resolvemos para
em função de
. Então trocamos o papel de
e
para obter a fórmula da função inversa definida em sua própria variável.
Começando,
Como a exponencial é positiva, só podemos inverter para
. Aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial) em ambos os lados; o logaritmo natural
está definido apenas para argumentos positivos e satisfaz
para todo
.
Aplicando
,
Isolando
,
Agora, para escrever a função inversa substituímos
por
(convenção de que a variável independente da inversa é chamada
):
Passo 6
Verificação rápida da inversa por composições (para ganhar confiança).
Calcular
para
:
Calcular
para
:
As duas composições dão as identidades nas respetivas partes do domínio, confirmando que a fórmula encontrada é de fato a inversa.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: (com domínio
)
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: