Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
f(x)=x^{6}+1, x \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{6}+1 com a restrição x\geq 0. As perguntas são:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto-valor) de f.
  • Verificar se f é injetora.
  • Caso seja injetora, calcular f^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A regra é f(x)=x^{6}+1.
  • Há a condição explícita sobre o argumento: x\geq 0.

Passo 2

Domínio: checar se a expressão impõe restrições além de x\geq 0. A expressão x^{6}+1 é um polinômio, definida para todo x\in\mathbb{R}. Como o enunciado impôs x\geq 0, o domínio é exatamente o intervalo dos não negativos. Portanto o domínio é
[0,\infty).
Explicação: não há outras restrições (como divisão por zero ou raiz par de número negativo) — então só vale a condição dada.

Passo 3

Imagem (valor mínimo e comportamento): para x\geq 0 temos x^{6}\geq 0, logo
f(x)=x^{6}+1\geq 1.
Verificar se o valor 1 é atingido: em x=0 temos f(0)=0^{6}+1=1. Portanto o valor mínimo 1 é atingido. Além disso, quando x\to\infty tem-se x^{6}\to\infty, logo f(x)\to\infty. Assim a imagem é o intervalo
[1,\infty).
Resumo do raciocínio: x^{6} cresce sem limite quando x aumenta e não fica abaixo de 0 no domínio dado; portanto f varia de 1 (em x=0) até +\infty.

Passo 4

Definição e teste de injetividade: uma função é injetora se valores iguais da imagem implicam argumentos iguais; ou seja, se f(a)=f(b) então a=b.
Uma maneira prática de testar injetividade é verificar se a função é estritamente crescente no domínio. Mostro que x\mapsto x^{6} é estritamente crescente para x\geq 0 por um argumento algébrico: para 0\leq a<b,
b^{6}-a^{6}=(b-a)\bigl(b^{5}+b^{4}a+b^{3}a^{2}+b^{2}a^{3}+b a^{4}+a^{5}\bigr).
Aqui b-a>0 e o somatório entre parênteses é positivo (soma de termos não negativos e não todos nulos), logo b^{6}-a^{6}>0. Assim b^{6}>a^{6} quando b>a, ou seja, x^{6} é estritamente crescente em [0,\infty). Acrescentar +1 não altera essa propriedade: f(x)=x^{6}+1 também é estritamente crescente em [0,\infty).
Conclusão: por ser estritamente crescente no domínio, f é injetora.

Passo 5

Cálculo da inversa (quando a função é injetora): comece isolando x na equação y=f(x). Seja y um valor na imagem, então
y=x^{6}+1.
Isolando x^{6}:
x^{6}=y-1.
Aplicando a raiz sexta em ambos os lados e escolhendo a raiz não negativa (porque no domínio x\geq 0):
x=(y-1)^{1/6}.
Portanto a inversa é a função que associa a cada y (no conjunto-valor) o número x=(y-1)^{1/6}. Como a imagem de f é [1,\infty), o domínio de f^{-1} é [1,\infty).
Verificação rápida por composição:
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\bigl((y-1)^{1/6}\bigr)^{6}+1=y-1+1=y,
e para x\in[0,\infty)
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(x^{6}+1-1\bigr)^{1/6}=(x^{6})^{1/6}=x,
onde a última igualdade vale porque x\geq 0 (raízes pares devolvem a raiz principal não negativa).

Passo 6

Resumo em palavras amigáveis: o domínio já veio dado como os não negativos; ao elevar um número não negativo à sexta potência obtemos algo não negativo, somando 1 o mínimo passa a ser 1 (atingido em x=0); a função é estritamente crescente no domínio (diferença de potências mostra isso) então é injetora; inverter a fórmula é apenas tirar a sexta raiz do deslocamento y-1, tomando a raiz não negativa.

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Imagem: [1,\infty)
Injetora: Sim
Inversa: f^{-1}(y)=(y-1)^{1/6} com domínio [1,\infty)

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