Determine o domínio e a imagem das seguintes funções. Verifique se cada função é injetora e, caso seja, calcule sua inversa.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com a restrição
. As perguntas são:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto-valor) de
. - Verificar se
é injetora. - Caso seja injetora, calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A regra é
. - Há a condição explícita sobre o argumento:
.
Passo 2
Domínio: checar se a expressão impõe restrições além de
. A expressão
é um polinômio, definida para todo
. Como o enunciado impôs
, o domínio é exatamente o intervalo dos não negativos. Portanto o domínio é
Explicação: não há outras restrições (como divisão por zero ou raiz par de número negativo) — então só vale a condição dada.
Passo 3
Imagem (valor mínimo e comportamento): para
temos
, logo
Verificar se o valor
é atingido: em
temos
. Portanto o valor mínimo
é atingido. Além disso, quando
tem-se
, logo
. Assim a imagem é o intervalo
Resumo do raciocínio:
cresce sem limite quando
aumenta e não fica abaixo de
no domínio dado; portanto
varia de
(em
) até
.
Passo 4
Definição e teste de injetividade: uma função é injetora se valores iguais da imagem implicam argumentos iguais; ou seja, se
então
.
Uma maneira prática de testar injetividade é verificar se a função é estritamente crescente no domínio. Mostro que
é estritamente crescente para
por um argumento algébrico: para
,
Aqui
e o somatório entre parênteses é positivo (soma de termos não negativos e não todos nulos), logo
. Assim
quando
, ou seja,
é estritamente crescente em
. Acrescentar
não altera essa propriedade:
também é estritamente crescente em
.
Conclusão: por ser estritamente crescente no domínio,
é injetora.
Passo 5
Cálculo da inversa (quando a função é injetora): comece isolando
na equação
. Seja
um valor na imagem, então
Isolando
:
Aplicando a raiz sexta em ambos os lados e escolhendo a raiz não negativa (porque no domínio
):
Portanto a inversa é a função que associa a cada
(no conjunto-valor) o número
. Como a imagem de
é
, o domínio de
é
.
Verificação rápida por composição:
e para
onde a última igualdade vale porque
(raízes pares devolvem a raiz principal não negativa).
Passo 6
Resumo em palavras amigáveis: o domínio já veio dado como os não negativos; ao elevar um número não negativo à sexta potência obtemos algo não negativo, somando 1 o mínimo passa a ser 1 (atingido em
); a função é estritamente crescente no domínio (diferença de potências mostra isso) então é injetora; inverter a fórmula é apenas tirar a sexta raiz do deslocamento
, tomando a raiz não negativa.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: com domínio
Imagem:
Injetora: Sim
Inversa: