Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado:
. - Pedidos:
- Determinar o domínio máximo de
. - Esboçar o gráfico de
.
- Determinar o domínio máximo de
Passo 2
Entender as restrições das funções compostas:
- A função
(raiz quadrada principal) está definida para . Ou seja, para qualquer com a quantidade existe e é . - A função
(logaritmo) está definida apenas para argumentos positivos, isto é, para . Não existe e não existe de número negativo.
Passo 3
Combinar as duas condições para a composição
:
- Como
precisa estar definida, requeremos . - Como
exige argumento estritamente positivo, precisamos de . - A condição
equivale a (porque só ocorre em ). - Portanto o domínio máximo é
, isto é, o intervalo .
Passo 4
Simplificar a expressão para facilitar análise:
- Usar a propriedade de potência do logaritmo:
(válida para ). - Escrever
. Então
- Observação: essa igualdade só vale para
, que já é o domínio que encontramos.
Passo 5
Interpretação prática do resultado
:
- É exatamente a função logarítmica
multiplicada por : um encolhimento vertical por fator . - Em muitos contextos
é o logaritmo natural ; aqui a forma vale independentemente da base do logaritmo, a diferença seria só um fator de escala constante na vertical.
Passo 6
Pontos e valores notáveis (úteis para esboçar):
- Em
: . Logo o gráfico passa por . - Se
for , em : . - Em
: . - Esses pontos mostram que para aumentar o valor da função em
é necessário multiplicar por (devido ao fator ).
Passo 7
Monotonicidade e concavidade (informações para desenhar a forma correta):
- Derivada: usando
,
Como
para todo
, a função é estritamente crescente em seu domínio.
- Segunda derivada:
Logo a função é côncava para baixo em todo o domínio.
Passo 8
Comportamento nas extremidades (assíntotas e limites):
- Limite quando
:
Isso indica uma assíntota vertical em
(o gráfico desce para
ao se aproximar de
pela direita).
- Limite quando
:
ou seja, cresce sem limite, embora lentamente.
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar num rascunho):
- Marcar o eixo
apenas para (domínio ). Indicar que em há assíntota vertical. - Marcar o ponto
. - Marcar
e para ter referência de escala vertical. - Desenhar uma curva suave que passa por esses pontos, é crescente e tem concavidade para baixo, aproximando-se de
quando e subindo lentamente para quando . - Lembrar que a curva é simplesmente a curva de
comprimida verticalmente por .
Resposta
Domínio:
Gráfico: curva de , crescente e côncava para baixo, assíntota vertical em
, passa por
e por
.
Gráfico: curva de