Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\log (\sqrt{x})

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: f(x)=\log\big(\sqrt{x}\,\big).
  • Pedidos:
    1. Determinar o domínio máximo de f.
    2. Esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Entender as restrições das funções compostas:
  • A função \sqrt{x} (raiz quadrada principal) está definida para x\ge 0. Ou seja, para qualquer x com x\ge 0 a quantidade \sqrt{x} existe e é \ge 0.
  • A função \log(y) (logaritmo) está definida apenas para argumentos positivos, isto é, para y>0. Não existe \log(0) e não existe \log de número negativo.

Passo 3

Combinar as duas condições para a composição \log(\sqrt{x}):
  • Como \sqrt{x} precisa estar definida, requeremos x\ge 0.
  • Como \log(\cdot) exige argumento estritamente positivo, precisamos de \sqrt{x}>0.
  • A condição \sqrt{x}>0 equivale a x>0 (porque \sqrt{x}=0 só ocorre em x=0).
  • Portanto o domínio máximo é x>0, isto é, o intervalo \,(0,\infty).

Passo 4

Simplificar a expressão para facilitar análise:
  • Usar a propriedade de potência do logaritmo: \log(x^{\alpha})=\alpha\log(x) (válida para x>0).
  • Escrever \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
\log\big(\sqrt{x}\,\big)=\log\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\log(x).
  • Observação: essa igualdade só vale para x>0, que já é o domínio que encontramos.

Passo 5

Interpretação prática do resultado \displaystyle f(x)=\tfrac{1}{2}\log(x):
  • É exatamente a função logarítmica \log(x) multiplicada por \tfrac{1}{2}: um encolhimento vertical por fator \tfrac{1}{2}.
  • Em muitos contextos \log é o logaritmo natural \ln; aqui a forma \tfrac{1}{2}\log(x) vale independentemente da base do logaritmo, a diferença seria só um fator de escala constante na vertical.

Passo 6

Pontos e valores notáveis (úteis para esboçar):
  • Em x=1: \displaystyle f(1)=\tfrac{1}{2}\log(1)=\tfrac{1}{2}\cdot 0=0. Logo o gráfico passa por (1,0).
  • Se \log for \ln, em x=e: \displaystyle f(e)=\tfrac{1}{2}\ln(e)=\tfrac{1}{2}.
  • Em x=e^{2}: \displaystyle f(e^{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 2=1.
  • Esses pontos mostram que para aumentar o valor da função em 1 é necessário multiplicar x por e^{2} (devido ao fator \tfrac12).

Passo 7

Monotonicidade e concavidade (informações para desenhar a forma correta):
  • Derivada: usando \dfrac{d}{dx}\log(x)=\dfrac{1}{x},
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2x}\quad\text{para }x>0.
Como f'(x)>0 para todo x>0, a função é estritamente crescente em seu domínio.
  • Segunda derivada:
f''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigg(\dfrac{1}{2x}\bigg)=-\dfrac{1}{2x^{2}}<0\quad\text{para }x>0.
Logo a função é côncava para baixo em todo o domínio.

Passo 8

Comportamento nas extremidades (assíntotas e limites):
  • Limite quando x\to 0^{+}:
\lim_{x\to 0^{+}}\log\big(\sqrt{x}\,\big)=\lim_{x\to 0^{+}}\tfrac{1}{2}\log(x)=-\infty.
Isso indica uma assíntota vertical em x=0 (o gráfico desce para -\infty ao se aproximar de 0 pela direita).
  • Limite quando x\to \infty:
\lim_{x\to\infty}\log\big(\sqrt{x}\,\big)=\infty,
ou seja, cresce sem limite, embora lentamente.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar num rascunho):
  1. Marcar o eixo x apenas para x>0 (domínio (0,\infty)). Indicar que em x=0 há assíntota vertical.
  2. Marcar o ponto (1,0).
  3. Marcar (e,\tfrac{1}{2}) e (e^{2},1) para ter referência de escala vertical.
  4. Desenhar uma curva suave que passa por esses pontos, é crescente e tem concavidade para baixo, aproximando-se de -\infty quando x\to0^{+} e subindo lentamente para +\infty quando x\to\infty.
  5. Lembrar que a curva é simplesmente a curva de \log(x) comprimida verticalmente por 1/2.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Gráfico: curva de \displaystyle f(x)=\tfrac{1}{2}\log(x), crescente e côncava para baixo, assíntota vertical em x=0, passa por (1,0) e por (e,\tfrac{1}{2}).

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