Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Determinar o domínio máximo de
. - Esboçar o gráfico de
.
A função fornecida é
Informações relevantes dadas (apenas os dados do enunciado):
- A expressão dentro do log é
. - A base do logaritmo é
.
Passo 2
Entender a condição de existência do logaritmo (domínio).
- Um logaritmo
está definido somente quando o argumento é positivo: . - Aqui o argumento é
. Então a condição de existência é
- Como
, isso reduz-se a
- A desigualdade
é verdadeira para todo diferente de zero. Logo .
Portanto o domínio máximo é
.
Passo 3
Simplificar a função usando propriedades dos logaritmos (para entender a forma do gráfico).
Propriedades úteis:
Propriedades úteis:
-
. -
.
Aplicando em
:
Como
e
(usamos
porque
e o log só aceita positivo),
Passo 4
Consequência prática desta forma:
- A presença de
faz com que seja uma função par, isto é,
Isso significa que o ramo à esquerda do eixo
é o espelho do ramo à direita.
Passo 5
Encontrar interceptos e pontos notáveis (úteis para esboçar).
- Interseção com o eixo
(raízes): resolver .
Logo as raízes são
, isto é os pontos
.
-
Interseção com o eixo
: corresponde a , mas não pertence ao domínio. Portanto não há intercepto com o eixo . -
Alguns valores fáceis para referência:
portanto
e por simetria
.
logo
e
.
logo
(e o simétrico negativo).
Passo 6
Comportamento perto de
(assíntota vertical).
- Quando
, temos . Para um logaritmo, quando . - Portanto
Isso significa que
é uma assíntota vertical: as curvas à esquerda e à direita caem para
ao se aproximarem de
.
Passo 7
Comportamento para
.
- Como
de um polinômio cresce sem limite (ainda que lentamente), temos
Logo ambos os ramos crescem sem limite quando
aumenta.
Passo 8
Monotonicidade (como a função se comporta em cada intervalo do domínio).
- Usando
e a derivada conhecida de ,
então
- Para
, : a função é crescente em . - Para
, : a função é decrescente em . - Conclusão: à esquerda de zero desce indo para
quando se aproxima de zero; à direita de zero sobe quando se afasta de zero. Não há máximo ou mínimo finito — apenas a tendência para em e para em infinito.
Passo 9
Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo para desenhar no rascunho da prova):
- Marque a assíntota vertical
(linha tracejada vertical). - Marque os pontos
— onde a curva cruza o eixo . - Marque
e e seus simétricos , para ter ideia da inclinação e da escala. - Para
próximo de zero (por exemplo ) a função já é negativa ( ), então as curvas caem bastante perto de . - Desenhe dois ramos simétricos (função par): o ramo à direita passa por
, sobe lentamente para quando e tende para quando . O ramo à esquerda é o espelho por relação a -axis: passa por , desce para ao aproximar-se de e sobe para quando .
Dica visual: a função lembra duas “perninhas” de logaritmo, uma à direita e outra simétrica à esquerda, ambas com uma assíntota vertical em
.
Resposta
Domínio:
Esboço: função par com assíntota vertical em , cruzando o eixo
em
, passando por
e
; decresce em
e cresce em
; tende a
quando
e a
quando
.
Esboço: função par com assíntota vertical em