Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\log _{3}\left(9 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Determinar o domínio máximo de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
A função fornecida é
f(x)=\log_{3}\!\bigl(9x^{2}\bigr).
Informações relevantes dadas (apenas os dados do enunciado):
  • A expressão dentro do log é 9x^{2}.
  • A base do logaritmo é 3.

Passo 2

Entender a condição de existência do logaritmo (domínio).
  • Um logaritmo \log_{a}(u) está definido somente quando o argumento u é positivo: u>0.
  • Aqui o argumento é u=9x^{2}. Então a condição de existência é
9x^{2}>0.
  • Como 9>0, isso reduz-se a
x^{2}>0.
  • A desigualdade x^{2}>0 é verdadeira para todo x diferente de zero. Logo x\neq0.
Portanto o domínio máximo é (-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Simplificar a função usando propriedades dos logaritmos (para entender a forma do gráfico).
Propriedades úteis:
  • \log_{a}(BC)=\log_{a}B+\log_{a}C.
  • \log_{a}(B^{k})=k\log_{a}B.
Aplicando em f(x)=\log_{3}\!\bigl(9x^{2}\bigr):
f(x)=\log_{3}9+\log_{3}x^{2}.
Como \log_{3}9=\log_{3}(3^{2})=2 e \log_{3}x^{2}=2\log_{3}|x| (usamos |x| porque x^{2}=(|x|)^{2} e o log só aceita positivo),
f(x)=2+2\log_{3}|x|.

Passo 4

Consequência prática desta forma:
  • A presença de |x| faz com que f seja uma função par, isto é,
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x\neq0.
Isso significa que o ramo à esquerda do eixo y é o espelho do ramo à direita.

Passo 5

Encontrar interceptos e pontos notáveis (úteis para esboçar).
  • Interseção com o eixo x (raízes): resolver f(x)=0.
\log_{3}\!\bigl(9x^{2}\bigr)=0 \iff 9x^{2}=1 \iff x^{2}=\tfrac{1}{9}\iff x=\pm \tfrac{1}{3}.
Logo as raízes são x=\pm\tfrac{1}{3}, isto é os pontos \bigl(\pm\tfrac{1}{3},0\bigr).
  • Interseção com o eixo y: corresponde a x=0, mas x=0 não pertence ao domínio. Portanto não há intercepto com o eixo y.
  • Alguns valores fáceis para referência:
f(1)=\log_{3}(9\cdot1^{2})=\log_{3}9=2,
portanto (1,2) e por simetria (-1,2).
f(3)=\log_{3}(9\cdot9)=\log_{3}81=4,
logo (3,4) e (-3,4).
f\!\bigl(\tfrac{1}{9}\bigr)=\log_{3}\!\bigl(9\cdot\tfrac{1}{81}\bigr)=\log_{3}\!\bigl(\tfrac{1}{9}\bigr)=-2,
logo \bigl(\tfrac{1}{9},-2\bigr) (e o simétrico negativo).

Passo 6

Comportamento perto de x=0 (assíntota vertical).
  • Quando x\to0, temos 9x^{2}\to0^{+}. Para um logaritmo, \log_{3}(t)\to -\infty quando t\to0^{+}.
  • Portanto
\lim_{x\to0} f(x)=-\infty.
Isso significa que x=0 é uma assíntota vertical: as curvas à esquerda e à direita caem para -\infty ao se aproximarem de 0.

Passo 7

Comportamento para |x|\to\infty.
  • Como \log de um polinômio cresce sem limite (ainda que lentamente), temos
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty.
Logo ambos os ramos crescem sem limite quando |x| aumenta.

Passo 8

Monotonicidade (como a função se comporta em cada intervalo do domínio).
  • Usando f(x)=2+2\log_{3}|x| e a derivada conhecida de \log_{3}|x|,
\frac{d}{dx}\log_{3}|x|=\frac{1}{x\ln 3}\quad(x\neq0),
então
f'(x)=2\cdot\frac{1}{x\ln 3}=\frac{2}{x\ln 3}\quad(x\neq0).
  • Para x>0, f'(x)>0: a função é crescente em (0,\infty).
  • Para x<0, f'(x)<0: a função é decrescente em (-\infty,0).
  • Conclusão: à esquerda de zero desce indo para -\infty quando se aproxima de zero; à direita de zero sobe quando se afasta de zero. Não há máximo ou mínimo finito — apenas a tendência para -\infty em 0 e para +\infty em infinito.

Passo 9

Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo para desenhar no rascunho da prova):
  1. Marque a assíntota vertical x=0 (linha tracejada vertical).
  2. Marque os pontos \bigl(\pm\tfrac{1}{3},0\bigr) — onde a curva cruza o eixo x.
  3. Marque (1,2) e (3,4) e seus simétricos (-1,2), (-3,4) para ter ideia da inclinação e da escala.
  4. Para x próximo de zero (por exemplo x=\pm\tfrac{1}{9}) a função já é negativa ( f(\pm\tfrac{1}{9})=-2), então as curvas caem bastante perto de x=0.
  5. Desenhe dois ramos simétricos (função par): o ramo à direita passa por (\tfrac{1}{3},0), sobe lentamente para +\infty quando x\to+\infty e tende para -\infty quando x\to0^{+}. O ramo à esquerda é o espelho por relação a y-axis: passa por (-\tfrac{1}{3},0), desce para -\infty ao aproximar-se de 0^{-} e sobe para +\infty quando x\to-\infty.
Dica visual: a função lembra duas “perninhas” de logaritmo, uma à direita e outra simétrica à esquerda, ambas com uma assíntota vertical em x=0.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Esboço: função par com assíntota vertical em x=0, cruzando o eixo x em \bigl(\pm\tfrac{1}{3},0\bigr), passando por (\pm1,2) e (\pm3,4); decresce em (-\infty,0) e cresce em (0,\infty); tende a -\infty quando x\to0 e a +\infty quando |x|\to\infty.

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